Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в (открытом) круге D в плоскости R2 задана (вещественная) кривая I (замкнутая в топологическом смысле), имеющая в качестве особенностей только простые двойные самопересечения в конечном числе и трансверсально подходящая к границе круга D. Кривой I сопоставляются симметрическая и кососимметрическая целочисленные билинейные формы на решетке по правилам, описанным ниже.
Каждая связная компонента дополнения кривой I является криволинейным многоугольником. При этом у такого многоугольника некоторые пары вершин могут совпадать (как на рис. 32). § 43
матрицы пересечений особенностей
101
Разобьем множество компонент дополнения кривой I на два класса (первый и второй) так, чтобы две компоненты, имеющие общую сторону, относились бы к разным классам. Такое разбиение на два класса возможно и единственно с точностью до перестановки классов. Сопоставим каждой точке pf самопересечения кривой I формальную образующую А), каждой относительно компонентной в D (т. е. не граничащей с дополнением D) компоненте дополнения кривой I из первого класса (U0t)—формальную образующую А?, а из второго класса (U|)—формальную образующую А%. Обозначим через я10.(/, 0 (аналогично n2l (k, /)) количество вершин криволинейного многоугольника Ui (соответственно Ul)-, совпадающих с точкой _
Pj- піа(І< І) и nIiik' /) могут принимать значе- рис 32 ния 0, 1 или 2. Через «20(k, і) обозначим количество общих сторон криволинейных многоугольников^U% и U\. Так, например, на рис.32 я20= 1, п10 = 2, п21= 1 (i = j = k = l).
Натянем на образующие {AJ,} целочисленную решетку и будем считать базис Al, Д), А" отмеченным базисом этой решетки (порядок^ элементов A^ с одинаковым о несуществен). Разбиение компонент дополнения кривой I на два класса используется только для фиксирования порядка элементов A^ в отмеченном базисе.
Определение. Квадратичная форма, соответствующая кривой U определяется следующей таблицей скалярных произведений образующих:
(Am ° К-) = -2Smm,, (Д? о Л}) = п10 (у, І), (А) о Al) = п%1 (k, /), (А? о А%) = —п20 (k, Ї).
Определение. Кососимметрическая билинейная форма, соответствующая кривой I, определяется следующей таблицей скалярных произведений (совпадение обозначений с предыдущим определением не создает путаницы):
(Д? о AfSl.) = О, (А) о А?) = п10 (у, І),
(Al о Aj) = n2l (k, /), (А? о Al) = п20 (k, І)
Рис. 33. (здесь при перестановке аргументов скалярное произведение меняет знак).
D-диаграммой кривой I мы будем называть D-диаграмму соответствующей квадратичной формы. Ее вершины соответствуют самопересечениям кривой I и относительно компактным в D компонентам дополнения кривой I. Правило соединения вершин следует из таблицы индексов пересечений. Например, на рис. 33 изображена D-диаграмма кривой рис. 32. Заметим, что эта диаграмма не является D-диаграммой никакой особенности.
Пусть f—шевеление особенности /, описанное выше, т. е. такой, что все критические точки функции / (на которые распадается 96
топологическое строение
[гл. j1
особенность /) вещественны, а значения функции / во всех седло-вых точках равны нулю. В этом случае вещественная кривая {/ = 0} (в маленьком круге D c центром в нуле) имеет только простые двойные самопересечения. Компоненту дополнения этой кривой отнесем к первому классу, если функция / принимает на ней отрицательные значения, и ко второму—в противном случае. Критические значения функции f (х, у) (или, что то же самое,— функции трех переменных f(x, y) + tz) по предположению лежат на вещественной оси в плоскости С значений функции /. Выберем такое z0, что Im z0 > 0, и зафиксируем систему путей, соединяющих ^некритическое значение z0 с критическими значениями функции /, потребовав, чтобы эти пути целиком лежали в верхней полуплоскости lmz>0, за исключением их концов, совпадающих с критическими значениями. Заметим, что критические точки функции f находятся во взаимно однозначном соответствии с самопересечениями вещественной кривой {/ = 0} и относительно компактными компонентами ее дополнения, так как в каждой такой компоненте имеется ровно по одной критической точке функции 7 (максимуму или минимуму). Зафиксировав таким способом систему путей, мы определили отмеченные базисы исчезающих циклов в гомологиях неособых многообразий уровня особенностей / (х, у) и f (х, ?/) + t2. Эти базисы мы также будем обозначать через {А При этом циклы А) исчезают в седловых точках Pj функции /, циклы AJ—в минимумах, лежащих в компонентах Wi, а циклы Ag—в максимумах, лежащих в компонентах U%.
Теорема 1. Форма пересечений в гомологиях неособого многообразия уровня особенности f (х, у) в описанном отмеченном базисе {А^} совпадает с кососимметрической билинейной формой, соответствующей вещественной кривой \] = 0}, а форма пересечений особенности трех переменных f (х, у) + /2—с квадратичной формой, соответствующей той же кривой.
Примеры. 1) Пусть f(х, у) = хт + уп. Кратность этой особенности равна (т—I)(п—1). Положим f(x, y) = "kmn[Tm(k~nx)-{-
+ 2 п~тТп (x~m2 ~т~у)). Здесь Tn (х) = 21-" cos (л • arccos х)—многочлены Чебышева. Нетрудно видеть, что шевеление f особенности / удовлетворяет условиям теоремы 1. Кривая {(х, у) ^ -R2: / (х, у) = 0} и ее D-диаграмма изображены на рис. 34 (т=б, я=5). При m = k-\-1, п = 2 мы, как и в п. 2.9, получаем классическую диаграмму Дынкина Ak, но с другим порядком вершин.
