Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
бифуркационные диаграммы
79
Пусть /: (С", 0)—»-(С, 0)—росток голоморфной функции с изолированной особенностью в нуле, z: С—»-C—линейная функция, рассмотрим росток отображения (/, z): (С", 0) —(С2, 0). Множество критических точек этого отображения является ростком аналитического пространства. Обозначим его через Гг (/). Нетрудно видеть, что Г2 (/)—росток кривой, т. е. сИтГа(/) = 1. Это, например, следует из того, что критическими точками отображения (/, z) являются критические точки всех функций вида f—гг (є ? С), а каждая из функций /—Ez имеет (в окрестности нуля в пространстве С") конечное множество критических точек.
Определение. Кривая T2(f) называется полярной кривой особенности f по отношению к линейной функции z.
Другим (эквивалентным) способом описания полярной кривой Гz(f) является следующий: кривая T2 (/) состоит из всех точек х^С", в которых касательное пространство к множеству уровня функции f (проходящему через эту точку) параллельно фиксированной гиперплоскости {z = 0}, т. е. из всех точек X ? С", в которых дифференциал df пропорционален дифференциалу dz.
Пусть Гг(/) = и Гг-—разложение ростка кривой T2 (/) на непри-t
водимые компоненты. Как было указано, критические точки функции (f—ez) лежат на кривой Tz (/) при всех е. Пусть [I1—количество критических точек функции /—sz (вфО), лежащих на компоненте Tj- (считая с их кратностями). Очевидно, что [л (/) =
= S !xI-
і
Критические точки функций / |z==e (на гиперплоскостях {z = e}ct с С") также лежат на полярной кривой Гг(/). Пусть Гг-д?{г = 0},
Vi-количество критических точек функции /Iz=E (ъфО), лежащих
на компоненте Гг (считая с их кратностями). Если функция f j,=0 имеет изолированную критическую точку в нуле, то ни одна из компонент Г; не лежит В гиперплоскости {z = 0} и fi(/|2 = 0) = 2 vJ-
Если r,c?{z = 0}, то /Iri-^O. Действительно, если /|Г; =0, то df |гг-=0, dz |г;. = 0, г На кривой Г; функция f может
быть разложена в ряд по (дробным) степеням z (это разложение совпадает с разложением Пюизо образа кривой Г,- при отображении (/, z): (С, 0) —о (С2, 0), см. п. 4.3). Пусть Oi-Za'"-первый член этого разложения (а,- Ф 0). Имеем OLi > 1. Это следует из того, что при е—о 0 корни уравнения f'z = е (определяющего критические точки функции (/—ez)) должны стремиться к нулю. Если TiCZ^Z = 0} (в этом случае функция f \2=0 имеет неизолированную критическую точку), то f |Г; =S=O. В этом случае будем считать, что Oc1-=I.
Лемма 5. Если а,->1, то Jij- = V,- (а,-—1).
Доказательство. Если ос,. > 1, тоГ;.<?]г = 0} Hf=UiZa' + ... (а; Ф 0). Предположим, что компонента T1- входит в полярную кривую Tz (f) с кратностью один. Это значит, что критическиеточки функции /—ez (є =7^=0), лежащие на компоненте Г,., невырождены. В противном случае доказательство должно быть слегка изменено. Запишем разложение Пюизо образа кривой Г,- при отображении (/; г): (С», 0)-^(С2, 0) в виде z = z(t) = tk, f = f(t) = = a(tm + - •. (ряд по целым степеням переменной t), где t—уни-формизующий параметр. Имеем cl( = m/k. Число Ui равно количеству (ненулевых) корней уравнения f't—ez'u обращающихся в нуль при є—ї-0. Число Vi равно количеству корней уравнения z (t) — є. Очевидно, что Pi = In—k, v? — k, откуда ^iIvi = (т—k)Jk = а -— 1, что и требовалось доказать.
Знание полярной кривой особенности позволяет проследить за поведением критических точек и критических значений при шевелениях специального вида. Например, рассмотрим малое шевеление Fe = / + (z—б)2 функции / + Z2. Критические точки функции Fa лежат на полярной кривой Гг(/) особенности /. Рассмотрим те критические точки, которые лежат на компоненте Г,- и обращаются в нуль при є—s-0. Они могут быть определены из уравнения (Fe)'z (г. = 0. Имеем 1 + 2 (z — є) + о (za<~ *) = 0.
При а,-> 2 отсюда следует, что z = е+О (b"'-1), Fe =^alew'+ + о (ea0- Количество таких критических точек равно Vi-.
При Ui = 2, ас — 1 имеем z = є/(аг-+1) + о (є), Fe = E2OiZiai+1) + + о (б2). Количество таких критических точек также равно vi.
При о(<2в первом приближении имеем /г==2є, что совпадает с уравнением, определяющим критические точки функции (f—2ez). Количество таких критических точек равно ц,-. Имеем z = = (2E/(a,ai))1/a"1+ . . . =о (є). Поэтому Fe = є2+ о (є2).
Отсюда вытекает
Лемма 6. Если — 1 при а{ = 2, то число Милнора (л (/ + г2) особенности f + z2 равно 2 ц,+ S vi¦
і: аі < 2 і: > 2
Следствие. ц(/ + г2Х}.і(/|г==0); р,(/ + z2) = ,u(/|г=0) тогда и только тогда, когда a,-^ 2 для всех /'.
Нетрудно показать, что если f?mk, т. е. если разложение Тейлора ростка / не содержит членов степени < k, то при выборе линейной функции г общего положения ОС,- k для всех І.
Для определения матрицы пересечений особенности / требуется знание матрицы пересечений особенности (f + z2) в отмеченном базисе специального вида. Опишем этот базис. Пусть А—множество всех различных значений показателей OLi. Из асимптотик критических значений шевеления Fe=/ +(г—є)2 функции / + г2, описанных перед леммой 6, вытекает, что для достаточно малого E=T^O можно выбрать положительные числа г'а и г"л для а = 2 и для а а> 2 так, что г"^ < при a > ?, критические значения функции F8 в критических точках, принадлежащих компоненте Г і с af = a > 2, содержатся в кольце {«: r'a < | и j < г"а\, а критические значения функции Fs в критических точках, принадлежащих§3)