Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
В [114] получено обобщение теоремы 15 на случай произвольных особенностей. По теореме Фробениуса ([74]) в целочисленной ре- 5 зі бифуркационные диаграммы
77
щетке Zp- = Hn_1(Ve,\ Z) с кососимметрической формой пересечений на ней можно выбрать (целочисленный) базис ег, ...,<?„, ..., /„, gv •••> St (2л +1 = и, (/)) такой, что (е, о Д.) = Я,., (е.о/у) = 0 при і ф h (е; ° ej) = (// ° //) == (?« ° Sj) = (*« ° g/) = (// ° ?/) = 0, причем целое число Xi делит число Xi (і = 2, ..., п). Последовательность чисел Я,, ..., Я„ определена однозначно.
Аналогично группе Mf^ монодромии в гомологиях Hn^1 (Vg; Z2) с коэффициентами в Z2 можно определить группу Mfn монодромии в гомологиях Пп_г (VE; Zft) с коэффициентами в циклической группе Zft. В следующем утверждении особую роль будет играть случай k = IX1, где целое число X1 определено в предыдущем абзаце.
Теорема 16. Группа монодромии M(f4) изолированной особенности функции с четным числом переменных совпадает с группой всех линейных операторов g на целочисленной решетке Zv- = = (Ve; Z), удовлетворяющих условиям 1) и 2) теоремы 15, а также следующему условию:
3') оператор g, приведенный по модулю 2Xt, принадлежит группе монодромии в гомологиях с коэффициентами в Z2X1.
Для всех особенностей функций двух переменных X1 = I (fll4J).
В п. 3.3 указано, что задача описания всех распадений простой особенности, встречающихся в базе ограниченной миниверсальной деформации, редуцируется к задаче описания всех ее D-диаграмм, в отмеченных базисах. Отсюда естественно возникает задача описания всех отмеченных базисов особенности.
Пусть f: (С", 0)—>-(С, 0)—произвольный росток функции, имеющий изолированную критическую точку в нуле, A1, ..., Afl— отмеченный базис исчезающих циклов в группе гомологий Hn-1 (Veу Z) « Zfi неособого многообразия уровня. В таком базисе оператор вариации Varr особенности f записывается верхней треугольной матрицей (п. 2.5). Оператор /г» классической монодромии особенности f является произведением Zi1 о ... о h? операторов
И (П+1)
Пикара—Лефшеца he (fi;(a) = a + (—1) 2 (а о А;.)А,-), соответствующих исчезающим циклам A1, . . ., Afl (там же).
Оказывается, что для простых особенностей имеют место и обратные утверждения.
Теорема 17 ([55]). Пусть A1, ..., Aix—базис группы гомологий (Ve; Z) « Zvl неособого многообразия уровня простей особенности f. Предположим, что в базисе A1, . . ., Afi оператор вариации Vary, особенности f записывается верхней треугольной матрицей. Тогда A1, ..., A11—отмеченный базис исчезающих циклов.
Теорема 18. Пусть A1, ...,Afi—базис из исчезающих циклов в гомологиях неособого многообразия уровня простой особенности /. Предположим, что оператор h* классической монодромии 96
топологическое строение
[гл. j1
особенности f является произведением H1 о ... о Hlit операторов Пикара—Лефшеца, соответствующих исчезающим циклам A1, ..., Am,. Тогда A1, ..., Ali—отмеченный базис исчезающих циклов.
Доказательство теоремы 18 содержится в письме П. Делиня к Э. Лойенге (1980, не опубликовано). При доказательстве и того, и другого утверждения используется следующий результат, представляющий самостоятельный интерес.
Пусть /: (С", 0)—о (С, 0)—простая особенность нечетного числа переменных п, f: U—>- С—ее малое морсовское шевеление, определенное в окрестности U нуля в пространстве С", z1, ..., zji— критические значения функции /, z0—некритическое значение, причем |z(-| < I z0| (/=1, ..., |л), А — произвольный исчезающий цикл в гомологиях неособого множества уровня Fzo функции /.
Лемма 3 ([55]). Цикл А является исчезающим вдоль некоторого несамопересекающегося пути и, соединяющего некоторое критическое значение Z1 функции f с некритическим значением Z0 и лежащего целиком внутри круга ] z | < | z01 (за исключением конца, совпадающего с некритическим значением Z0).
В формулировке этого результата существенными являются условия, что f является функцией нечетного числа переменных, а также что путь и лежит внутри круга |z|<|z0|. В случае, когда f—особенность функции четного числа переменных, утверждение леммы 3 не имеет места. Отказ от требования, чтобы путь и лежал внутри круга | z | < | z0 ], делает лемму тривиальной (верной для любых особенностей любого числа переменных) и бессодержательной. Лемма 3 эквивалентна следующему утверждению.
Лемма 4. Существует отмеченный базис исчезающих циклов A1, ..., Aj1 в гомологиях неособого многообразия уровня особенности f с первым элементом A1, совпадающим с исчезающим циклом. Д.
Неизвестно, имеют ли место аналоги теорем 17 и 18 и леммы 3 для непростых особенностей.
3.7. Полярные кривые и матрицы пересечений особенностей. В работе [152] получены результаты, связывающие матрицу пересечений изолированной особенности /: (С", 0) —о (С, 0) с матрицей пересечений одной из особенностей / + Z2 или f |г=:0 и инвариантами полярной кривой особенности / по отношению к линейной функции z. Они позволяют определить матрицы пересечений для большого числа особенностей, а также бывают полезны при доказательствах утверждений о матрицах пересечений особенностей, использующих индукцию по размерности п (такая индукция использовалась, например, в [114] при доказательстве теоремы 16 п. 3.6). Настоящий пункт содержит краткое изложение результатов работы [152]. Полярные кривые особенностей возникают и в других задачах. Более подробное изложение теории полярных кривых можно найти в [226]. §3)
