Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
бифуркационные диаграммы
81
компоненте Г,- с OC1- = OC > 2, содержатся в кольце {и: r'% < | и | < Пусть о (г)—непрерывная монотонная невозрастающая функция такая, что <т (г) = ос— 1 при r'a ^ г ^ г"а¦ Положим Vm = {и\ arg и + Jr 2жт([и J)^я(2т—l)j-, где m—1, 2,..., —я.-?;arg« я. Предположим, что (—(Zi)*'? R+, где а{ = PiZqi, (рс, q{) = 1 (R+— положительная полуось). В этом случае критические значения функции Fb не принадлежат ни полуоси ни границам областей Vra. Рассмотрим систему путей, соединяющих критические значения функции Fe с некритическим значением 0, которая определяет отмеченный базис исчезающих циклов в гомологиях неособого многообразия уровня особенности f + z2. От этой системы путей потребуем, чтобы все пути пересекали полуось только в нуле и все пути, проведенные из критических значений функции Fe, принадлежащих области Vm, содержались бы в Vm. В качестве такой системы путей можно, в частности, выбрать систему отрезков, соединяющих критические значения функции Fe с нулем. Одним из основных результатов работы [152] является следующая
Теорема 19. Пусть {А,}—отмеченный базис исчезающих циклов для особенности f + z2, определенный описанной системой путей. Тогда:
1. Существует отмеченный базис исчезающих циклов {Af\ для особенности f со следующими индексами пересечений:
(Af о Af,) = (AjoAj,),
(Af о Af') = (т'—т)""1 при | т'—т\=1,
(Af о Af,') = (—1)" (Ay- о А;-,) при j т'-~.т (= 1, (m'—m)(j'~ j) < О, (Af о Af) = O при I т' — т \ > 1 или (т'—т) (/"—/)> 0.
При этом пара (т, j) допустима (т. е. ей соответствует исчезающий цикл Af), если и только если цикл Aj исчезает вдоль пути, содержащегося в Vm.
2. Af = KAf*1 при m> 1, где К—оператор классической монодромии особенности f.
3. Условие допустимости пары (т, j) может быть переформулировано следующим образом: для каждого I допустимыми являются первые /л,- пар из (т, }), где цикл Af исчезает в критической точке, принадлежащей компоненте Г; полярной кривой
Г,(/)•
Аналогичная связь существует между матрицами пересечений особенностей / и /|г=0 в случае, если /[г=0 имеет изолированную особенность. Функция G6 = {(2=е является малым шевелением особенности f\2=0. Критические значения функции Ge в критических точках, принадлежащих компоненте Ti, равны а(-єа' + о(єаі) при E—>О. Следовательно, для достаточно малого є можно выбрать положительные числа г'а и г'^ для всех а ? А так, что г'а < г"а для топологическое строений
[ГЛ. I
всех а ? Л, г"а < /-р при a>? и критические значения функции Ge в критических точках, принадлежащих кривой Г;. с а,== а, содержатся в кольце {и: r'a < | и | < Определим функцию а (г), области V7m и систему путей, соединяющих критические значения функции G8 с некритическим значением 0 точно так же, как для функции Fa, с той лишь разницей, что в рассмотрение включаются все се. ^A, а не только a ^s 2. Пусть {A,-} — отмеченный базис исчезающих циклов для особенности /|г=0, определяемый такой системой путей, {Ау-|—соответствующий отмеченный базис исчезающих циклов (определяемый той же системой путей) для особенности f |г_0 + г2, стабильно эквивалентной особенности / j2!=0. Связь матриц пересечений особенностей /|г=0 и / |г=0 4~ za в отмеченных базисах {A'} и {АЛ соответственно дается теоремой 14 п. 2.8.
Теорема 20. Предположим, что росток f{z-0 имеет изолированную особенность в нуле. В этом случае в теореме 19 особенность / + Z2 и отмеченный базис ^исчезающих циклов {Ау-} могут быть заменены на f |z_0 -f- z2 и {Ay} соответственно.
Теорема 20 сводит задачу о вычислении матрицы пересечений особенности f функции п переменных к задаче о вычислении матрицы пересечений особенности / |г_0 функции (п—1) переменной в отмеченном базисе специального вида и показателей а{ для компонент T1- полярной кривой Tz (/). Результаты вычислений для большинства особенностей, расклассифицированных в § 15 ОДО-1, сведены в таблице, приведенной ниже. Здесь матрица пересечений особенности в отмеченном базисе {А/}, а, следовательно, и
особенности f |г_0 + Z3 в отмеченном базисе {Ау}, определена одной из следующих D-диаграмм:
для особенности f из серий JnE;
для особенности / из серий X, Y, Z и W;
для особенности f из серий Q, S, T и U.
В последнем столбце таблицы приведены числа M1, . . ., Mll' (|л' = = |а(/ |г=0)), где натуральное число Mj определяется тем, что в отмеченном базисе {Af} особенности / присутствуют циклы Af с 1 < т < Mj:
1 2
г
• 3 2
r3C §3) бифуркационные диаграммы 90
Особенность M1, .... M Jt»
J ft, і Eek Eek+i Eeh+а 3ft +1— 1, 3ft— I 3ft, 3ft 3ft+1, 3ft 3ft+l, 3ft+l
Xk, р yk r, S 4ft —1, 4ft—1, 4ft + P — 1 4ft+/—1, 4rk+s— 1, 4ft—1
t-i, P 4ft—1, 4ft+3i—p— 1, 4ft+3t— I
Zk 4ft+Зг, 4ft—1, 4ft + 3i
Zk 4ft + 3?+I, 4ft—t, 4ft+ 3/
Zk ^12k+ 6І+1 Wlik Wkti П.,,-г 4ft+3!+l, 4ft—1, 4ft + 3i+I 4ft, 4ft, 4ft 4ft+1, 4ft, 4/? 4ft + 1, 4ft+1, 4ft+i+l 4? + <?+l, 4ft + <7, 4ft+1
К ш, ^126+5 Wlzk + в 4fc+<j+l, 4? + <?+l, 4ft+ 1 4ft + 2, 4ft+1, 4ft+2 4ft+ 2, 4ft+2, 4ft+ 2
Qk, і Qeft+ 4 Qefe+& Qeft+в S12k-і ^llk ^ft, і 2, 2, 3ft—1, 3ft + /—1 2, 2, 3ft, 3ft 2, 2, 3ft + l, 3ft 2, 2, 3ft+1, 3ft+1 2, 4ft—1, 4ft—1, 4ft—1 2, 4ft, 4ft—1, 4ft —I 2, 4ft, 4ft, 4ft+г 2, 4ft+?, 4ft+^ — 1, 4ft
