Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 47

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 160 >> Следующая


Пусть теперь кривая M не обязательно неприводима

^M= U M^. Производя сг-процесс в нуле, затем—в особых

точках прообразов кривых M1-, ..., мы дойдем до такого положения, при котором все г прообразов кривых M1- будут неособыми. Это означает, что мы получим аналитическое отображение Jt: (Z, Z0) —(С2, 0) (суперпозицию ст-процессов) неособой аналитической поверхности Z в пространство C2 такое, что:

1) ограничение отображения л на Z—Z0 является изоморфизмом Z-Z0-+ C2-O;

2) подпространство Z0== я-1 (0) является объединением комплексных проективных прямых на поверхности Z, находящихся в общем положении;

4 В. И. Арнольд и др. 96

топологическое строение

[гл. j1

3) прообразы л-1 (Mi) кривых Mi с C2 (замыкания я-1 (Mi—0)) являются неособыми кривыми на поверхности Z. Общность положения проективных прямых, из которых состоит подпространство Z0, означает, что они имеют только парные взаимные пересечения, причем две проективные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются трансверсально в одной точке.

Кривые я'1 (Mi) могут касаться друг друга, а также вклеенных комплексных проективных прямых. Нетрудно видеть, что (х-процесс в точке касания двух неособых кривых понижает степень их касания, а а—процесс в точке их трансверсального пересечения разводит их, т. е. делает не пересекающимися. Поэтому, произведя дополнительно нужное число а-процессов, можно считать, что кривые п~1(М/) не пересекаются друг с другом и пересекаются с прообразом Z0 нуля трансверсально в его неособых точках (т. е. не в точках пересечения разных вклеенных проективных прямых).

Такое отображение я: (Z, Z0) —»- (С2, 0) мы будем называть разрешением кривой М = {(х, у): f (х, у) = 0\. Можно показать, что это отображение является разрешением особенности функции / в смысле п. 3.5.

Пусть, например, кривая M неприводима и задается параметрическими уравнениями x = t%, y = tb, о-процесс с центром в нуле приводит ее к кривой вида x — t2, y = t3. ст-процесс в особой

<-\<



7

1

Рис. 40.

точке этой кривой приводит к неособой кривой, касающейся вклеенной проективной прямой, причем это касание является простым, а-процесс в точке касания приводит к тому, что прообраз кривой M будет пересекаться с двумя вклеенными проективными прямыми в точке их пересечения. Наконец, а-процесс в этой точке пересечения окончательно приведет прообраз рассматриваемой кривой и все вклеенные проективные прямые в общее положение (рис. 40; для ясности кривая M и ее прообразы изображены более жирными линиями, а вклеенные проективные прямые перенумерованы в порядке вклеивания).

Другой пример (для особенности функции f(x, у) = X (х* + у3), M =Mj и M2, M1 = Ijc = O^, Ma = {**-{-^3 = 0}) приведен на рис. 41.

Нетрудно показать, что кратность, а следовательно, и матрица пересечений особенности функции, соответствующей кривой M=

T

= U Mt, определяется тем, какие из вклеенных проективных пря-

? = I § 43 матрицы пересечений особенностей

101

йых и прообразов кривых M1 пересекаются между собой, и не зависит от того, в каких конкретно точках они (трансверсально) пересекаются. Отсюда следует, что без вреда для кратности особенности и ее матрицы пересечений мы можем считать, что все

ч

2 /
/

1

г —

Рис. 41.

вклеенные проективные прямые и прообразы кривых Mi вещественны (т. е. все ст-процессы производились только в вещественных точках соответствующих поверхностей, а кривые Mi сами были вещественными). В этом случае на рисунках 40 и 41 изображены вещественные части вклеенных проективных прямых и кривых Mi.

Изложенная выше конструкция по сути дела является доказательством теоремы 3.

Стягивание одной из вклеенных проективных прямых (последней по порядку вклеивания) приводит к ситуации, когда несколько неособых кривых (вклеенных проективных прямых и прообразов кривых Mi) пересекаются в одной точке, причем попарно трансверсально. Шевелением можно добиться, чтобы эти кривые не

\l
S / к

Рис. 42.

имели более чем парных пересечений, а простые парные пересечения все были бы вещественными (рис. 42).

Стягивая так все вклеенные проективные прямые (в порядке, обратном их вклеиванию при разрешении особенности) и на каждом шаге шевелением избавляясь от более чем парных пересечений, мы дойдем до таких шевелений исходных кривых M1-, которые имеют только простые двойные пересечения (как сами с собой, так и друг с другом), причем все эти пересечения вещественны. Таким образом, нами будут построены шевеления кривых M1-, требующиеся для определения матрицы пересечений особенности в соответствии с п. 4.2. Для особенностей, разрешения которых изображены на рис. 40 и 41, соответствующие построения проведены на рис. 43 и 44.

Описанный способ построения вещественных шевелений обладает тем недостатком, что для его проведения требуется построение разрешения особенности при помощи последовательности ог-про-цессов, что является довольно длинной процедурой. Например,

3

0< - 0<~

1 1

Рис. 43.

для особенности X'"-}-уп, рассматриваемой в п. 4.1 (пример 1), этот способ требует многочисленных (хотя и простых) построений. Более эффективным является способ, основанный на индукции по парам Пюизо особенности, однако он более сложен для описания.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed