Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 36

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 160 >> Следующая


Положим

?(*) = П ПО—znv(/))('"I,,v/).

/: # I=Ij= 1

Теорема 13. Для почти всех функций f: (С, 0)—* (С, 0) с диаграммой Ньютона Г функция оператора классической монодромии особенности f совпадает с 1,-функцией диаграммы Г. 5 зі

бифуркационные ДИАГРАММЫ

75

Условия, выделяющие множество функций, для которых выполнено утверждение теоремы 13, могут быть выражены через коэффициенты, с которыми входят в разложение ростка / мономы, лежащие на диаграмме Ньютона Г (см. § 8). Вообще говоря, может случиться, что все функции с диаграммой Ньютона Г имеют неизолированную особенность. Тем не менее теорема 13 остается верной.

Поскольку степень ^-функции оператора монодромии особенности совпадает с эйлеровой характеристикой ее неособого многообразия уровня, из теоремы 13 следует результат А. Г. Кушниренко ([66]), выражающий кратность особенности через ее диаграмму Ньютона.

3.6. Группы монодромии и отмеченные базисы простых особенностей. Наиболее эффективное описание группы монодромии имеется для простых особенностей, т. е. для особенностей, не имеющих непрерывных модулей (см. ОДО-1, § 15). Как и для любых особенностей, здесь имеются два принципиально разных случая: особенности с нечетным числом переменных и особенности с четным числом переменных. В первом случае операторы Пикара—Лефшеца являются отражениями в гиперплоскостях, ортогональных в смысле формы пересечений соответствующим исчезающим циклам; группа монодромии является группой, порожденной отражениями. Во втором случае описание операторов Пикара—Лефшеца не столь привычно.

Как известно, группа монодромии особенности определяется ее матрицей пересечений в слабо отмеченном базисе. Для простых особенностей имеет место следующее утверждение.

Теорема 14. Для простых особенностей Ak (xk+1 + 2

Dk (х*у + у"-1 + Sfl). Е* (Xs + у* + S П), E7 (X3 + ху + % ff), Es (xs + ув- + 2 ^ї) существуют отмеченные базисы исчезающих

At----=--- . „.., Bk

Рис. 31.

циклов, в которых их D-диаграммы совпадают с классическими диаграммами соответствующих одноименных алгебр JIu (рис. 31). Группы монодромии этих особенностей с нечетным числом переменных конечны и изоморфны группам Вейля соответствующих алгебр.

Описание классических групп Вейля см. в [16].

Для особенностей типа Ak теорема 14 доказана в п. 2.9. Для остальных простых особенностей ее доказательство, основанное на том, что эти особенности стабильно эквивалентны особенностям функций двух переменных, будет проведено в п. 4.1. 96 топологическое строение [гл. j1

Способ построения D-диаграмм простых особенностей с нечетным числом переменных непосредственно по самой группе монодромии найден Маккеем ([249]).

Обозначим через Mf' и Mf группы монодромии особенностей, стабильно эквивалентных f, с нечетным и четным числом переменных соответственно.. Образующими групп Mf и Mf являются преобразования целочисленной решетки, определяемые формулами Пикара—Лефшеца. Эти преобразования совпадают по модулю два. Следовательно, соответствующие группы преобразований гомологий Нп_х (V1.; Z2) неособого многообразия уровня, с коэффициентами в группе Z2 (#„_! (Ve; Z2) (Z2)11) одинаковы. Поэтому имеется одна группа монодромии Mf* особенности по модулю два, действующая на бинарной решетке (Z2)l^. Определены естественные эпиморфизмы Mf—J-Affa и Mf—>-Мр, индуцированные гомоморфизмом Z —> Z2. Следовательно, группа Mf' монодромии в гомологиях с коэффициентами Z2 является факторгруппой как группы Mf, так и группы Mf\

Для простых особенностей описание группы Mf* вытекает из того факта, что ядро гомоморфизма Mf—* Mf* либо тривиально (и в этом случае Mj'«Mf), либо содержит ± тождественное преобразование (в этом случае Mf= M^hVZ2). Ядро отображения Mf—>-Mf' совпадает с группой Z2 тогда и только тогда, когда группа Mf монодромии особенности f с нечетным числом переменных содержит преобразование, являющееся умножением на (—1).

Для простых особенностей с четным числом переменных группа монодромии Mf описывается следующим результатом.

Теорема 15 (А. Н. Варченко, С. В. Чмутов [113]; см. также [118], [233]). Для простых особенностей с четным числом переменных группа монодромии совпадает с группой всех линейных операторов g на целочисленной решетке Z^ = Hn^l (Fe; Z), удовлетворяющих следующим трем условиям:

1) оператор g сохраняет (кососимметрическую) форму пересечений особенности;

2) ограничение оператора g на ядро формы пересечений (т. е. на множество векторов, ортогональных ко всем элементам решетки Zv-) является тождественным преобразованием;

3) оператор g, приведенный по модулю два, принадлежит группе Mf* монодромии в гомологиях с коэффициентами в группе Z2.

Необходимость выполнения условий 1)—3) для любых (не обязательно простых) особенностей очевидна. Для особенности / функции двух переменных размерность ядра К формы пересечений равна г—1, где г—количество неприводимых компонент у ростка кривой {jf = 0}. Поэтому для простых особенностей имеем: dim/C = O для особенностей A2s, E6, Ea; dimK = 1 для особенностей Azs+l, Das+1, ?,; dim К = 2 для особенностей D2s.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed