Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы избежать трудностей такого рода, мы будем рассматривать не особенность функции f: (С2, 0) —> (С, 0), а особенность ростка кривой М = {/ = 0}. В соответствии с п. 4.2 задачу построения вещественных шевелений особенности f, нужных для определения ее матрицы пересечений, можно заменить задачей
построения вещественных шевелений кривой М. Пусть M= U Mi—
разложение ростка M на неприводимые~'компоненты. Каждая гз кривых"4 M1-** может гбыть задана уравнением f; = 0 степени mt
г 96 ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ [гл. j1
Рассмотрим временно одну из неприводимых кривых Mi (индекс і будем пока опускать). Как уже говорилось, существует росток отображения ср: (С, 0)—* (С2, 0), образом которого является росток M и которое вне нуля является изоморфизмом С—0—* —5-M—0. Отображение <р задается формулами x = x(t) = Cttm+ .. У = у [t) = btm -f-. .., где многоточие обозначает сумму членов более высоких степеней (t—координата на прямой С, л: и у — координаты в плоскости С2; либо аф 0, либо ЪФ 0). Можно показать, что натуральное число т совпадает со степенью ростка функции, определяющей кривую М. Линейная замена координат в пространстве C2 позволяет убрать член степени т у ряда у (t), т. е. считать, что х (t) = atm-\- . .., у (t) = btn-\-. . ., где п > т, аф0. После этого (локальная) замена 1 = '{/х(t) = '^a х X "Уtm-{-... = "{/а (/+...) координаты на прямой С позволяет считать, что x(t) = tm, у (t) = btn-\-. .. (л > т.). Если п делится на т (n = k-m), то замена х = х, у = у—bxk уничтожает член степени п у ряда у (t). Поэтому после замен переменных в прообразе Сив образе C2 можно считать, что отображение ф задается формулами x(t) = tm, у (t) — 2 a^k (п> т, ап Ф 0), где п не делится
k > п
на т. При этом наибольшее общее кратное т, п и тех k, для которых акФ0, равно 1. Нетрудно видеть, что в этом случае кривая TVI касается координатной прямой у = 0. Уравнение кривой M может быть записано в виде у = 2 акхк)т. Ряд ^akXklm
й> п ks- п
по дробным степеням переменной X называется рядом Пюизо кривой М. Пару натуральных чисел (n, т) назовем старшими показателями Пюизо кривой M..
Для более полного описания ростка M используют набор так называемых характеристических пар Пюизо. Представим отношение м/ш. в виде несократимой дроби пгJm1. Пара (пг, Zn1) называется первой характеристической парой Пюизо ростка кривой М. Если наибольшее общее кратное чисел пят (которое равно Tnjm1) равно единице (в этом случае, конечно, т1 = т), то этим исчерпываются все характеристические пары Пюизо. Если т/т1> 1, то пусть k2 = min {k\ ak ф0, k не делится на (т/тг)У. Представим отношение kj(m/mx) в виде несократимой дроби njm2. Пара (п2, т2) называется второй характеристической парой Пюизо ростка кривой М. Если ZnZ(Zn1Zn2) = I, то этими двумя парами исчерпываются характеристические пары Пюизо. Если т/(тгт2) > 1, то пусть &3=min {k: акФ 0, k не делится на (т Im1M2)), k3/(m) (Zn1Zn2)) = =п3/т3, ... В конце концов мы получаем последовательность взаимно простых пар натуральных чисел (пх, Zn1), (п2, т2), ... ...(ng,mg), называемых характеристическими парами Пюизо кривой М. При этом Zn1- ... mg = m, п(_хт{ < яг-. Можно показать, что характеристические пары Пюизо дают довольно подроб- § 43 матрицы пересечений особенностей
101
ное описание топологии ростка кривой М. В частности, ростки кривых с одинаковыми характеристическими парами Пюизо топологически эквивалентны между собой и являются нулевыми многообразиями уровня^ особенностей ростков функций, находящихся в одном семействе*'(A = const.
Проследим за тем, что происходит с кривой M при сг-процессе сг: П2—»-C2. В аффинной части многообразия П2, определяемой условием и= 1, координатами являются х и и = у/х ((и:v)—однородные координаты на проективной прямой CP1 с: П2). Из формул x(t)=tm, y(t) = tn-\-. .. вытекает, что в координатах (x, v) на многообразии П2 имеем x(t) = tm, v (і) = tn~m-\- . .. Отсюда следует, что прообраз а~г (М—0) кривой M без нуля при ст-процессе пополняется до кривой a-1 (M) в многообразии П2. При этом кривая сг-1 (M) пересекается с вклеенной проективной прямой CP1 в точке (1:0). Из параметрических уравнений, определяющих кривую o~l (M) вытекает, что они в некотором смысле имеют меньшую степень, чем уравнения кривой М. Если т < п < 2т, то степень кривой a-1 (M) (равная п—т) просто меньше, чем степень кривой М. Если же п > 2т, то степень кривой <т-1(М) (равная т) совпадает со степенью кривой М, однако первый из старших показателей Пюизо (п—т, т) у кривой o~1 (M) меньше, чем у кривой М.
Таким образом, особенность кривой M = сг-1 (M) в описанном смысле проще, чем особенность кривой М. Производя сг-процесс на поверхности П2 с центром в особой точке кривой M = cr-1 (M),
мы получаем поверхность П2 (а: П2 —> П2) и кривую M — a-1 (M) на ней, особенность которой будет еще проще. Комплексная проективная прямая на поверхности П2, которая вклеивается при этом сопроцессе, будет трансверсально пересекаться с проективной прямой, вклеиваемой при первом сг-процессе, причем только в одной точке. Повторяя этот процесс нужное число раз, мы, наконец, дойдем до того, что прообраз кривой M будет неособым.
