Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть t = t0—значение параметра, при котором происходит перестройка кривой Imxt, относящаяся к третьему типу. Для определенности предположим, что при / < Z0 треугольник с вершинами в трех сливающихся точках относится к первому классу
компонент дополнения кривой Im Xt (соответствующему компонентам, на которых шевеление / принимает отрицательные значения). При / > t0 аналогичный треугольник будет относиться ко второму классу. Пусть Ara, Дт+1, Дт+2—исчезающие циклы, соответствующие трем точкам самопересечения, Дот+3—цикл, соответствующий треугольнику с вершинами в них. Тогда последовательность операций ?m + 8' ?m + 2> ?m+1' ?.+i- Рш + і» ?/и + З' ?m + 3< ?m+1> ?m+1 ЭКВИВЗЛеНТНа рассматриваемой перестройке кривой Imxt-
В качестве примера применения теоремы 2 на рис. 39 изображено приведение D-диаграмм особенностей Ee (x3+«/4), E1 (х3~\-ху3)
Рис. 39. 96
топологическое строение
[гл. j1
и E8 (х3 + у5) (см. примеры 1 и 3) к классическому виду при помощи допустимой гомотопии.
Таким образом, завершено доказательство теоремы 12 п. 3.6.
Небольшое видоизменение позволяет приспособить описанный, метод вычисления матрицы пересечений особенности двух переменных для краевых особенностей (см. ОДО-1, п. 17.4) и доказать, что D-диаграммы особенностей Bk, Ck и Fi являются классическими диаграммами соответствующих алгебр Ли, а их группы монодромии (для случая нечетного числа переменных)—соответствующими классическими группами Вейля (п. 5.2).
4.2. Ростки комплексных кривых и особенности функций двух переменных. Пусть f: (С2, 0)—>-(С, 0)—росток голоморфной функции, имеющей изолированную критическую точку в нуле. Росток кривой M(f) = {x? С2: f(x) = 0} может быть приводим. Пусть
г
M (/) = и M1-—его представление в виде объединения неприводи-
»'= I
мых компонент (г—их количество). Для каждого из ростков неприводимых комплексных кривых Mi существует такой росток отображения (PiIiCi, 0)—(С2, 0) (униформизация), что Im ф,-= Mi-и ф является изоморфизмом кривых C1- и Mi вне нуля. Росток ф,- определен с точностью до ростка голоморфного изоморфизма (Ci-, 0)—»-(С,-, 0) (замены параметра униформизации). Для малых шевелений ф(. отображений ф,- общего положения комплексная
г _
кривая U Im ф; (в окрестности нуля) имеет в качестве особенно-?= і
стей только простые двойные точки. Их количество, которое, конечно, не зависит от выбора шевелений, обозначим через s = = 5{ф.}=5(/).
Лемма 1. Кратность особенности f равна р, (/)=2s (/)—(г—1).
Задача о вычислении матрицы пересечений произвольной особенности функции двух переменных может быть сведена к случаю вещественной особенности при помощи следующего утверждения.
Теорема 3. Для любого набора ростков отображений {ф(-| (ф,-:(С,-, 0)—j- (С2, 0), ф,- отображает Ci- взаимно однозначно на его образ и Im ф; =7^= Im фу при і Ф /) существует набор вещественных ростков отображений лежащий в той же компоненте связности множества s = const в пространстве всех наборов из г отображений (Ci, 0)—(С2, 0), что и {фг-}.
При этом отображения (или кривые) {ф,-}- и j^i-J- имеют одинаковые пары Пюизо и одинаковые порядки попарных касаний, что и дает способ построения отображений {%[.
Следствие. Для любой особенности функции двух переменных существует вещественная особенность, лежащая в той же компоненте связности множества (i = const в пространстве всех ростков функций (С2, 0) —(С, 0) и имеющая поэтому ту же матрицу пересечений. § 43
матрицы пересечений особенностей
101
Для особенностей большего количества переменных аналогичное утверждение не доказано.
Если все отображения ф(- вещественны и существуют их вещест-
_ г _
венные шевеления ф; такие, что кривая U Im ф,- имеет только
г=1
простые двойные точки и все эти s точек вещественны, то D-диаграмма вещественной кривой ^ u Im ф; ^ П K2 является D-диаграммой особенности /, соответствующей набору отображений {ф(-1 і = = 1, . . ., г}. Это следует из того, что шевеление / особенности /, соответствующее шевелению {фг-} набора отображений {ф,-}, удовлетворяет условиям теоремы 1 (п. 4.1).
Теорема 4. Для любого набора ростков вещественных отображений {ф,-} (фг-: (C1-, 0)—a-(C2, 0)) существуют вещественные ше-
— г _
веления {ф,-}, для которых кривая U Im ф(- имеет только простые
г= і
двойные точки и все эти точки вещественны.
Заметим, что оба существующие доказательства этой теоремы носят конструктивный характер, т. е. содержат способы построения таких шевелений. Один из этих способов (более удобный для изложения, но не более -эффективный) будет описан в п. 4.3.
Из теоремы 4 следует, что если /: (С2, 0)—* (С, 0)—такая вещественная особенность, что кривая {/ = 0} вещественна (т. е. вещественны все ее неприводимые компоненты), то существует ее вещественное шевеление удовлетворяющее условиям теоремы 1, т. е. имеющее только невырожденные вещественные критические точки с одинаковыми критическими значениями во всех седловых точках.
Почти так же этот факт доказывается для любой вещественной особенности двух переменных.
