Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
формы пересечении краевых особенностей
103
(ДО О А°) = (А" О Ag) = (Al О A«) = 1/2 (см. рис. 46, где указаны индексы самопересечений и индексы пересечений базисных элементов AJ, умноженные для удобства на два). Такая форма легко диага-нолизируется и имеет положительный индекс инерции, равный 1, а отрицательный—равный 3. Отсюда следует, что квадратичная форма особенности f имеет положительный индекс инерции = 1, нулевой = 1 и отрицательный fi_ = fi—2 = 9. Поэтому эта особенность является гиперболической в смысле ОДО-1.
§ 5. Формы пересечений краевых особенностей
и топология полных пересечений
В этом параграфе будут кратко изложены некоторые обобщения, связанные, в основном, с понятиями формы пересечений и исчезающих циклов, для особенности функций на многообразии с краем, для полных пересечений,...
5.1. Особенности с действиями конечных групп. Некоторые понятия и результаты, изложенные в предыдущих параграфах, могут быть обобщены на случай, когда рассматривается росток функции f: (Сп, 0) —(С, 0), инвариантный относительно линейного действия конечной группы G на пространстве С". Кроме того, на этом пути естественным образом возникают особенности, соответствующие алгебрам Ли Bk, Ck, F4 и Ga, корневые системы которых содержат векторы разной длины.
Пусть имеется линейное представление конечной группы G на комплексном векторном пространстве Cn. Преобразование пространства С", соответствующее элементу g группы G, мы будем обозначать через Tg. Предположим, что /: (О, 0)—»-(С, 0)—росток функции, инвариантный относительно действия группы G, т. е. такой, что / (Tgx) = f(x) для g?G. В этом случае группа G действует на неособом многообразии уровня Ve = f'1 (г) П Bp функции f вблизи критической точки, а тем самым—на его группе гомологий Hn-i (Va) с коэффициентами в группах Z, IR или С.
В случае, когда f—обычная особенность функции (т. е. когда группа G тривиальна), кратностью особенности f называется размерность пространства Нп_1 (Ve; R) (или Hn_t (V8, С)). Естественным аналогом размерности для случая, когда группа G не тривиальна, является G-модуль [Яп_1 (Ve; IR)] (или [#„_* (Ve; €)]) как элемент кольца Rr(G) (соответственно—Rc(G)) вещественных (соответственно комплексных) представлений группы G (см. [90]). Будем обозначать через [Я] элемент [Hn_j (Ve; €)] кольца R (G) = R^(G) комплексных представлений группы G.
Пусть „б—кольцо ростков в нуле голоморфных функций п переменных, (df/dxlt ..., df/dxn)—якобиев идеал ростка f, т. е. идеал, порожденный частными производными функции f. Размерность факторкольца Qf кольца „<3 по якобиеву идеалу (df/dxt, . .. 96
топологическое строение
[гл. j1
..., df/dхп) (как комплексного векторного пространства) совпадает с кратностью особенности f. Действие группы G на пространстве С" определяет ее представление на кольце „б. В случае, когда росток f инвариантен относительно действия группы G, это представление естественным образом определяет представление группы G на векторном пространстве Qf. Как уже говорилось, размерности векторных пространств H = Hn^1 (Ve; С) и Qf совпадают. Соотношение между [.Щ и [Q,] как элементами группы R (G) выявлено в [235].
На пространстве -С", на котором определен росток функции f, линейно действует группа G. Поэтому она действует и на его п-й внешней степени Я"СП, которая является одномерным векторным пространством. Действие элемента g Є G на пространстве XnCra совпадает с умножением на определитель det Tg оператора Tg.
Представлению группы G на векторном пространстве V соответствует ее представление на двойственном векторном пространстве V*. Например, представлению группы G на пространстве H = Нп_г (Ve; С) гомологий неособого многообразия уровня соответствует двойственное представление на пространстве H^=Hn'1 (V&; С) когомологий неособого многообразия уровня.
Теорема 1 ([235]). G-модули (т. е. векторные пространства с представлениями группы G) H и Q} (X) XnCn изоморфны.
Изоморфизм, существование которого утверждается в теореме 1, определен не канонически.
В п. 3.5 указывалось, что вместо вычисления кратности особенности, т. е. размерности группы гомологий неособого многообразия уровня Ve, часто бывает удобно вычислять его эйлерову характеристику % (Ve). Если X—топологическое пространство (для определенности—конечный клеточный комплекс), на котором действует группа G, то эквивариантной эйлеровой характеристикой %а (X)
пространства X называется элемент 2 (—1)? [Hq (X; С)] кольца
я
R (G) комплексных представлений группы G, где [Hq (X; С)] — элемент кольца R(G), определенный группой о-мерных гомологий пространства X с соответствующим представлением G. Эквивариант-ная эйлерова характеристика Xo (Ув) неособого многообразия уровня Va равна [С] + (—1 )П_1[Я], где [С]—элемент кольца R (G), определенный одномерным пространством С с тривиальным представлением группы G (группа H0 (Ke; С) нульмерных гомологий неособого многообразия уровня одномерна, а представление группы G на ней тривиально).
Если действие группы G согласовано со структурой клеточного комплекса на пространстве X, то на векторном пространстве Cq (X; С) ^-мерных клеточных цепей пространства X с коэффициентами в поле С определено естественное представление группы G. Можно показать, что, по аналогии с соотношением % (X) = формы пересечения краевых особенностей
