Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
103
С границей dD"'1 (t) = Sn~2(t), лежащий в подмногообразии Fza П П -(AT1 = 0}, определяет относительный цикл А' в группе гомологий Hu-AfW FIxI = 0Y), изоморфной группе H ^1 (Ve, V'e).
Пусть U1, . . ., Utla (соответственно U1, . . ., Ujl)—система путей, соединяющих критические значения Z1, ..., Ztlo (соответственно Z1, ..., Z^i) функции J (соответственно—/Hx1 = 0}) с некритическим значением z0, и определяющая в гомологиях неособого многообразия уровня функции / (соответственно-Ixl = 0}-) отмеченный
базис исчезающих циклов. При этом будем предполагать, что пути U1, . . ., Uvio, U1, . . ., Utlt не проходят через критические значения Z1, ... .. ., ZilatZ1, ...,Zrtli функций f и fI Ix1 = 0} (при t Ф 0). Как объяснено выше, такие системы путей определяют набор исчезающих циклов Рис. 47.
A1, ..., Allo и набор исчезающих полуциклов Ai, . . ., A^i в относительной группе гомологий Нп_х (Ve, Ve). Граничный гомоморфизм Hn_1(Ve, V'e)—>¦ Hn_2(V'E) пары (Ке, Ve) переводит исчезающий полуцикл А} в исчезающий цикл в гомологиях неособого многообразия уровня функции /1 Ix1 = OJ, соответствующий пути и). Отсюда и из точной последовательности пары (Ve, Ve) следует, что набор элементов A1, ..., А„ , A1, ..., A^li образует базис в относительной группе гомологий Hn_1(Ve, Ve).
Можно показать, что размерность группы гомологийНп_х(уъ, Ve) совпадает с размерностью базы миниверсальной деформации краевой особенности /Ix1, которая равна dime t?l(x\ ^ffdx1, df/dx2, ... .. ., df/dx„), где „б—кольцо ростков голоморфных функций в нуле в пространстве С".
Все сказанное выше подсказывает, что относительная группа гомологий H^1 (Ve, Vg) для краевой особенности должна играть ту же роль, что и абсолютная группа гомологий Hn^1 (Ve) для обычных особенностей. Однако оказывается, что на группе Нп_х (VB, Vg) нельзя инвариантным образом определить форму пересечений и получить аналог формулы Пикара—Лефшеца. Это вынуждает вместо нее иметь дело с другой группой, также изоморфной целочисленной решетке Zli=Z^o+I*' размерности р=р (f I Xi), но не имеющей канонически определенного изоморфизма с группой Нп_і (Ve, Vg). Эта группа определяется следующим способом.
Краевой особенности f можно поставить в соответствие еще одно неособое многообразие уровня—многообразие уровня Ve соответствующей инвариантной относительно группы Z2 функции f на пространстве С™. На этом многообразии уровня определено действие инволюции, индуцированное из ее действия на пространстве С™. Факторпространство пространства Vs по действию этой инволюции совпадает с многообразием уровня Ve функции f. Многообра- 96
топологическое строение
[гл. j1
зие Fe является разветвленным накрытием над многообразием F8 с ветвлением вдоль подмногообразия Ve. При этом dim Нп_г (Vre)= =2 dim H^1 (Ve) + dim Я„_2 (Ve) = dim Я„_1 (Fe) + dim Hn^1 (Ve, Ve) (см. пример в п. 5.1). В группе гомологий Яга_j (Fe, Z) выделяются два подпространства Я+ и Н~, соответствующие двум возможным неприводимым вещественным представлениям группы Z2. Подпространство H+ состоит из инвариантных относительно действия инволюции а классов гомологий (т. е. таких, что о,а=а), а подпространство Н~ — из антиинвариантных (ст*а =— а). В примере в п. 5.1 показано, что dim H+ = dim Яя_1 (Ve), dim Я" = dim Hn^l (Ve) + + dim Нп_^s(Vli) = dim Hn_1(Ve, Fg). Группа Я", изоморфная целочисленной решетке размерности р (/1 \хг = 0}), и играет для краевых особенностей роль, которую группа Hn^1 (Ve) играет для обычных особенностей. В частности, на ней (как на подгруппе группы Hn-г (Ve) гомологий неособого многообразия) определена форма пересечений.
Базис группы Н~ может быть построен следующим образом. Пусть A1, ..., Apio, A1, ..., Ац—базис из исчезающих циклов и полуциклов группы Hn^1 (Vg, Ve), построенный выше по системе путей U1, ..., Ullo, U1, ..., Utfli, соединяющих критические значения Z11 ..., Zlio, zi, ..., z'?j функций f и /1 {^1=5=0} с некритическим значением Z0. Прообраз цикла Ai-(t=l, р0) при отображении Fe —Fe (являющемся двулистным разветвленным накрытием, ветвящимся вдоль подмногообразия Ve) состоит из двух циклов Af и А*?', каждый из которых изоморфно проектируется на цикл Af. Их разность A^ = Af'—A1^ является антиинвариантным циклом в гомологиях многообразия Ve. Прообраз полуцикла А/ также состоит из двух полуциклов AJ-(1) и А/(а), изоморфно проектирующихся на Ay, однако полуциклы Ayu' и Ay<2) имеют общую границу (лежащую на многообразии ветвления). Поэтому их разность А} = Ayш—Ау1а) также является абсолютным антиинвариантным циклом в гомологиях многообразия Ve. Циклы A1, ..., Allo, A1, ..., A^ образуют базис в группе Н~ антиинвариантных классов гомологий.
Их можно описать также следующим способом. Рассмотрим
функцию J (X1, ..., xn)=f (х\, х2, ..., хп). Она имеет (X0 + Щ критических значений Z1, .. ., Zllo, Z1, ..., Zixi. При этом критические значения Z1, . .., Zlio дважды вырождены и принимаются в парах различных критических точек. Каждому из этих критических значений (Zi) соответствуют два исчезающих цикла А} и Af. При этом можно считать, что ст.А* =A?. Критическому значению Z/ соответствует один исчезающий цикл Ay. Нетрудно видеть, что ст.Ау = — Д;'. Циклы A1= Ay—Af, а также циклы Ay являются антиинвариант- §5]
