Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 55

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 160 >> Следующая


Имеет место результат, аналогичный теореме 1 п. 2.1.

Теорема 4 ([160]). Если росток отображения f:(С", 0)—» —(Cp , 0) определяет полное пересечение с изолированной особенностью в нуле, то неособое многообразие уровня Fz отображения f гомотопически эквивалентно букету нескольких сфер размерности (іп—р).

Наметим основные идеи доказательства этой теоремы.

Для р = 1 утверждение теоремы 4 следует из теоремы 1 п.2.1 и поэтому выполняется. Предположим, что оно уже доказано для отображений (С", 0)—^(Ср~х, 0), определяющих полные пересечения размерности (п—р +1) с изолированными особенностями в нуле. Особые точки отображения /:(С", 0)—0), т. е. точки XgC", для которых rk (dfi/dx/) < р, образуют росток аналитического пространства 5. Дискриминантное множество (2, 0)сг (О, 0) является образом ростка 5 при отображении /. Прообраз нуля при отображении f |s:S—* Cp состоит из одной точки 0 ? С". Следовательно, отображение / |s является собственным (в достаточно малой окрестности точки 0 ? С"), и поэтому росток дискриминант-ного множества 2 является ростком аналитического подпространства размерности (по крайней мере не больше, чем) (р—1) в пространстве (О, 0). Отсюда вытекает, что для почти всех прямых IczCp, проходящих через нуль, пересечение Zn2 имеет нуль изолированной точкой. Зафиксируем одну из таких прямых. Мы можем считать, что е0 выбрано столь малым, что внутри шара {|z| ^e0J в пространстве Cf пересечение / П 2 состоит из одной точки 0 ? Ср. Сделав, если необходимо, линейную замену системы координат Z1, ..., гр в пространстве О, мы можем считать, что она выбрана так, что прямая I совпадает с координатной осью Z1= ... =Zp^i = O. В этом случае подпространство f~l(l)cг(С", 0), которое совпадает с нулевым многообразием уровня отображения f' = (ft, fp-t)'(С", 0)—>-(Cp-1, 0), является полным пересе-

чением размерности (п—р +1) с изолированной особой точкой в нуле. Мы показали, что почти все лиНейные замены - системы уравнений Z1= ... =fp = 0, определяющей полное пересечение размерности (п—р) с изолированной особенностью в- нуле, приводят к такой системе уравнений, что первые (р—1) из них 96

топологическое строение

[гл. j1

(fi=...=fp_i = 0) также определяют полное пересечение (размерности (п—/?-}-1)) с изолированной особенностью в нуле.

По предположению индукции для почти всех достаточно малых г' = (Z1, .. ., zp_1) 6 Cf1 множество F' = F'z, = (/')-1 (z') П Bp является неособым (п—р +1)-мерным комплексным многообразием с краем и гомотопически эквивалентно букету нескольких сфер размерности (п—р +1). Можно показать, что для достаточно малых z' вся нетрявиальность гомотопического типа пространства F'z, сосредоточена в малой окрестности нуля. Более точно это означает, в частности, что для ||z'||<^e® пространство F'=F'Z, гомотопически эквивалентно своему подпространству Ffr = F' П П/р1({|гя| ^sup}) = {x^F':fp (х) ^ є°}. Для доказательства этого нужна некоторая аккуратность в проведении индукции, останавливаться на которой мы не будем.

Ограничение ff | f- функции fp на F' определяет отображение многообразия F' в "комплексную прямую С, обладающее свойствами, описанными в п. 1.1 (с кругом в качестве области U). Функция fp і F', вообще говоря, может иметь вырожденные критические точки. Заменив функцию fp ( f> на ее малое шевеление Jp, мы получим функцию на многообразии F', также обладающую указанными свойствами. Мы можем считать, что на пространстве ^" = ZrJT1 ({|гя | функция fp имеет только невырожденные критические точки в количестве V0 штук с различными критическими значениями z(1>, ..., z<v°>, лежащими внутри круга {|гр|<8р}. Пространство F" диффеоморфно пространству F" и поэтому имеет гомотопический тип букета нескольких сфер размерности (п-р + 1)- Неособые многообразия уровня f P1(Zp) функции fp на многообразии F' диффеоморфны неособым многообразиям уровня функции fp\F- (при которые совпадают с неособыми многообразиями уровня отображения f.

Мы получили ситуацию, очень похожую на ту, которая рассматривалась при доказательстве теоремы 1 п.2.1. Роль функции f на шаре Bp в пространстве С" играет функция fp на многообразии F'. Над дополнением к множеству {z(1>, ..., z(Vo>} ее критических значений в круге функция Jp определяет локально тривиальное расслоение, слоями которого являются неособые многообразия уровня отображения f. Единственное отличие состоит в том, что прообраз круга -{| | при отображении fp не стягиваем, а гомотопически эквивалентен букету нескольких (i-ij) сфер размерности (п—р + 1). Пусть z{a)—некритическое значение функции f~ с j z(0) | = в°р, fp1 (z(0)) = F, f'1 ({j Zp j ^

^ г°р\) = F" (пространство F" гомотопически эквивалентно букету |jij сфер размерности (п—р+1)).

Выберем систему путей Ui (і = 1, ..,V0), соединяющих критические значения 2W, ..., z<v'> функции fp с некритическим зна- §5]

формы пересечении краевых особенностей

103

чением Zwo и удовлетворяющих условиям, сформулированным в определении отмеченного базиса (п. 1.2). Это означает, что пути иt являются несамопересекающимися и не имеют общих точек, отличных от выбранного некритического значения z(0). Как и раньше, такая система путей определяет набор из V0 исчезающих циклов A1, ..., Av„ в группе Нп_р (F\ Z) гомологий неособого многообразия уровня F отображения f. Проводя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 1 п.2.1, мы получаем, что:
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed