Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
V(x Є H) , 3(y± Є Dom(A)) : (A ± iid)y± = x.
Пусть
A = a + ib,b = 0.
Тогда
(Aid - A) = b(iid - (-aid + A)/b) A (-aid +
A) /b
Следствие 4.7.2. Спектр любого самосопряженного оператора лежит на действительной оси.
Пусть A -самосопряженный оператор, B симметричный оператор и Dom(B) D Dom(A).
BA
A
3(a , b), //(x Є Dom(A)) : \\Bx\\ < a\\x\\ + b\\Ax\\. (4.192)
bA BB AA не существовать (число a в оценке (4.192) может стремиться к +то при b
Следующая теорема называется теоремой Като-Реллиха (или Реллиха-Като)
AB Dom(B) D Dom(A) B A A
b < 1, то опера,тор A + B с областью определения Dom(A) самосопряжен.
Доказательство. Так как
Ve : 2ab < (a/e)2 + (be)2,
343
то из (4,192) следует неравенство
/(x Є Dom(A)) : \\Bx\\2 < (a2 + t-2)\\x\\2 + (b2 + t2)\\Ax\\2 =
(b2 + t2)\\(-i((a2 + t-2)/(b2 + t2) - A)x\\2. (4.193)
Выберем б так, чтобы выполнялось неравенство
Y2 := b2 + б2 < 1.
Положим
a =(a2 + 6-2)/(b2 + б2).
A+B
доказать, что
Im(A + V + iaid) = H, R(-ia, A + B) Є L(H — H).
Пусть
x Є Dom(A), (A + B + iaid)x = y. (4.194)
A R( - ia , A)
R(-ia , A) Є L(H — H), Im(R(-ia , A)) с Dom(A).
Заменив в (4.194)
x — (A + iaid)x,
мы получим:
(id - BR(-ia , A))(A + iaid)x = y. (4.195)
Сделав замену
x — -R(-ia, A)x (4.196)
в (4.193), мы получим:
//x : \\BR(-ia , A)x\\ < Y\\x\\.
Следовательно,
\\BR(-ia, A)\\< y< 1, (4.197)
и
(id - BR(-ia , A))-1 Є L(H — H), Im(id - BR(-ia, A))-1 = H.
344
Теперь из (4,195) следует, что в равенстве (4,194): V(y Є H) :
x = -R(-ia , A)(id - BR(-ia , A))-1y Є Dom(A).
В силу предыдущей теоремы отсюда следует, что оператор A + B самосопряжен. Теорема доказана. Рассмотрим примеры.
Пример 4.7.1. Пусть H = L2(Rd , dx). На плотной в L2(Rd , dx) области
Dom(A) = {/ | f Є L2(Rd , dx) , j |x|4|f (x)|2dx < ooj рассмотрим оператор
Af (x) = x2f (x).
Этот оператор симметричен на своей области определения. Область определения сопряженного оператора A* состоит из тех элементов g Є H, для которых функционал
Dom(A) э / — < g , Af >= jg*(x)|x|2f (x)dx
продолжается до линейного непрерывного функционала на всем про-H
если он ограничен, т. е. если
sup{| < g , Af > H\\f \\< 1} = sup{| / g*(x)|x|2f(x)dx| | \\f W < 1}
\ 1/2
|x|4|g(x)|2d^ < со.
A*
AA
самосопряжен.
Пример 4.7.2. Пусть H = L2(Rd , dx). На пространстве HIварца S(Rd) рассмотрим оператор
A : S(Rd) э f (x) — Af (x) = -Af (x),
где A -оператор Лапласа. Найдем замыкание оператора A Пусть {fn} Є pd) и в метрике L2(Rd , dx)
fn — fo Є H , Afn — g Є H , n — o.
345
т ) = \t\2Ы), J \t\4\\Ы)\Ч< ос.
Отсюда вытекает, что область определения замыкания оператора -А состоит из функций, принадлежащих пространству Соболева H2(Rd):
-А
по формуле
-Af(x) = (2n)-d lim / eW(i(x,0)\C\2f(№,f Є H2(R2). (4.198)
Определенный формулой (4.198) оператор самосопряжен, так как он унитарно эквивалентен оператору умножения на \С\2 в пространстве L2(Rd , d?).
Если замыкание оператора есть самосопряженный оператор, то иногда говорят, что оператор самосопряжен в сущестенном (на своей первоначальной области определения). Мы доказали, что оператор Лапласа самосопряжен в существенном на пространстве Шварца.
Пример 4.7.3. Пусть H = L2(Rd , dx). На проетранстве H2 (Rd) с L2(Rd , dx) рассмотрим оператор
где І Є Rd, производная понимается в обобщенном смысле (см.стр. 453), q(x)
B
-А
Dom(Cl(-a)) = H2(R2)
|?|<Я
B : Bf (x) = І • Df (x) + q(x)f (x)
(4.199)
Пусть
/ x : \ q(x)\ < q
Тогда
\\Bf \\<\l\\\\Df\\\ + qo\\f \\.
Далее имеем:
6-2\\f \\2 + 62\\Af \\2
346
поэтому
IDf||< e-1\\f\\ + e\\Af \\.
Следовательно,
V(e> 0): \\Bf \\< (Iq00 + e-1IlI)\\f \\ + eW\\Af\\.
Мы доказали, что оператор B ограничен оператором -А со сколь угодно малой верхней гранью.
Из теоремы Като-Реллиха следует, что при сформулированных нами условиях оператор Шредингера
H2(Rd) э f »-Af + l • Df (x) + q(x)f (x)
самосопряжен в пространстве L2(Rd , dx)
Из теоремы 4.7.3 и теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды (см. 249) вытекает теорема Стоуна .
Теорема 4.7.5. /. Если
t » T(t)
-полугруппа класса, Co в гильбертовом пространстве и при всех t > 0 T( t)
T( t)
2. Если
t » U (t)
-полугруппа, класса, C0, при всex t Є R1 операторы, U(t) унитарны, и A U(t) -iA
-самосопряжен.
T( t) T( t)
Хилле-Филлипса-Иосиды он замкнут, имеет плотную область определения и его резольвента определена при Re A ^> 1. Следовательно, условие 3 теоремы 4.7.3 выполнено. Если полугруппа состоит из унитарных операторов, то ее инфинитезимальный оператор очевидно кососимметичен. Остальные рассуждения аналогичны и их проведение предоставляется читателю в качестве упражнения (следует воспользоваться спектральной теоремой для унитарных операторов). Теорема доказана.
347
4.8 Оснащение гильбертова пространства и билинейные формы.
4.8.1 Оснащение гильбертова пространства.
Пусть H гильбертово проетанево со скалярным произведением < , > и нормой
Wf W2 =<f,f>.
Пусть H+ с H -линейное многообразие в H, которое удовлетворяет условиям:
1, H+ плотно в H по метрике H:
H+ С H , Cl(H+) = H.
