Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Положим
g(X) :=< a, R(X, A) a >= f (X - x)-1a(x)2dx ,ImX = 0. (4.142)
Jo
Если выполнены наши предположения о функции a(x), то функция g(X) аналитична в области X Є [0 , l], стремится к пулю при X — то и при X Є (0 , l) существует предел
g(X - i0) - g(X + i0) = 2nia(X)2.
В дальнейшем мы будем предполагать, что
\l - ?g(X ± i0)\ > 0 .X Є R1 (4.143)
Очевидно, что это неравенство будет выполнено и в некоторой окрестности действительной оси. Если выполнено условие (4.143), то
c(X,«)= l - ?g(X) , (4144)
(0 , l)
Из (4.140) следует, что в нашем случае оперделенный в лемме 3.10.3 оператор Q вычисляется по формуле
Q(X,A,B^(x) =
ф^) + ?(l - ?g(X))-1 (X - x)-1a(x)ф(x)dx^ a(x) ,X Є [0 , l].
323
(4.145)
Из равенства (3.113) (см. 191 ) следует, что
R(A, B) = R(X, A)Q(X, A, B). (4.146)
Так как правая часть равенства (4.146) аналитична при A Є [0, 1], то спектр оператора B лежит на отрезке [0, 1] : a (B) С [0, 1]. Заметим, что если ф є C030([0 , 1]), то существуют пределы Q(A± i0 , A , B , ф), A Є
(0 , 1)
Справедливо равенство
< ф , (R(a - ie, B) - R(a + ie , B ))ф >= 2ie < ф , R(a - ie , B)R(a + ie , B)ф >= 2ie < R(a + ie , , R(a + ie , B)ф >=
2ie < R(a + ie , A)Q(a + ie , A , B )ф , R(a + ie , A) Q (a + ie, A, B) ф > . Поэтому
У(ф Є C°°([0 , 1]) , A є (0 , 1)): <ф,E(A,B)ф>= 1 Гл
lim - < ф, (R(a - ie, B) - R(a + ie , B)) ф > da =
—+о 2ni
lim —
f < R(a + ie,A)Q(a + ie,A,B^,
J —OO
R(a + ie , A)Q(a + ie, A, B) ф > da =
lim -I (I ((x - a)2 + e2)~1\Q(a + ie , A , B U(x)\2dx) da =
—+0 n J_oo V Jo J
\Z+^)(a)\2da, (4.147)
0
где
Z±^)(a) = Q(a ± i0 ,A, B) ф^). (4.148)
Таким образом, в рассматриваемой нами модели спектральная функция задается квадратичной формой
У(ф,ф Є C°° ([0 , 1])): <ф,Е (A,B)^>= IЛ Z+ma)*Z+ma)da,
0
(4.149)
Вычисляя правую часть (4.148), мы получаем: У(ф Є Co([0 , 1])): Z+m\) =
ф^) + р(1 - ?g(A + i0))_1 (^J0 (A + i0 - x)_la(x^(x)dx^J a(A). (4.150)
324
Из (4,149) следует равенство
У(ф Є СЛ[0 , 1])): С\ф(х)\2Сх = Ґ \Z+^)(A)\2dA. (4.151)
Jo Jo
Следовательно, первоначально определенное на C030QO , 1]) преобразование
Z+ : ф(х) ^ Z+^)(X) (4.152)
расширяется до унитарного преобразования пространства L2([0 , 1]) в себя. Это преобразование диагонализует оператор Б, а обратное преобразование дается формулой
Z+ : ф(х) = Z+ф(X)\x=x+
? (Jo (1 - ^g(A - i0))-1(X - i0 - x)—1O(A) Z+W)(A)CA^J a(x). (4.153) Эта формула получается так. В правой части равенства
/ ф(х)*ф(х)Сх = I Z($)(A)*Z(ф)(А)СА (4.154)
Jo Jo
в формуле для Z(^)(A)* интегрирование функции ф(х)* по dx ставим последним и приравниваем множитель перед ф(х)* в левой и правой части равенства (4.154).
Приведем вывод формулы для R(A , Б), который не использует формализм Т-матрицы.
Из второго резольвентного уравнения имем:
V(V> Є L2([0 , 1])) : R(A, Б )ф - R(A , Л)ф = R(A ,A)(B - A)R(A , Б)ф, (Б - A)R(A , Б)ф = ? < а , R(A , Б)ф > а,
< а , R(A, Б )ф > - < а, R(A, Л)ф >= ? < а, R(A, Б )ф >< а , R(A , Л) а >,
< а , R(A, Б )ф >= (1 - ? < а, R(A , Л) а >)—1 < а , R(A, Л)ф >,
(4.155)
R(A , Б)ф = R(A, Л)ф + (1 - ?<а, R(A, Л)а >)—1 < а , R(A , Л)ф > а.
ф=а
К модели Фридерихса сводятся многие задачи квантовой механики. В качестве примера рассмотрим простейший случай модели сильной связи. В этой модели гильбертово пространство состояний есть пространство последовательностей
І2 Є{/(j)} : ^ \f(J)\2 < то.
—oo<j<oo
325
Операторы Л и B задаются формулами
Лf (j) = 2f (j) - f (j + 1) - f (j - 1) , Vf (j) = f (0) , B = Л + V.
Преобразование
U : /2 - L2([0 , 1]) , U(f )(x) = Y f (j)exp(2nij)
з
Л
умножения на функцию:
U)(x) = 2(1 - cos(2nx))U(f)(x), V
U (Vf )(x) = (f )(x)dx.
0
Ясно, что заменой переменной х задача о вычислении спектральной функ-B
4.6 Спектральное разложение унитарных операторов.
Очевидна
Лемма 4.6Л. Оператор U Є L(H — И) -унитарный оператор, если
U *U = UU * = id.
Пример унитарного оператора в пространстве L2([0, 1]) - оператор умножения на функцию exp(icj(x)), где cj(x) -действительная измеримая функция. Ниже мы увидим, что в некотором смысле все унитарные операторы похожи на этот оператор. Основной результат этого параграфа -теорема 4,6.2, Доказательству теоремы мы предпошлем несколько лемм. Обратим внимание на то, что наши построения во многом аналогичны предыдущим.
Ниже символом C([0 , 2п]) мы будем обозначать множество всех непрерывных на отрезке [0, 2п] периодических функций:
V(f Є C([0 , 2п])) : f (0) = f (2п).
326
Пусть A -множество функций вида
f (exp(iO)) Є A : f (exp(iO)) = Y (ak exp(ikO) + ?k exp(-ihO)) , ak , ?k Є C1.
0<k<m
Множество функций A есть подалгебра алгебры C([0 , 2п]) относительно операций поточечного сложения и умножения функций. Заметим, что A
(f є A) (f* є A). Алгебра A содержит подалгебру {Pm} тригонометрических полиномов: Pm(exp(iO)) = a0/2+ Yl (ak cos(k9) + bk sin(kO)) , ak , bk Є R1.
1 < k< m
Следующая лемма называется леммой Фейера.
Лемма 4.6.2. Если тригонометрический, полином, неотрицателен:
V(O Є [0 , 2п]) : Pm(exp(iO)) > 0, (4.156)
