Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
фп — ф , n — то , фп Є Dom(A), а из сходимости интеграла (4,238) следует, что существует предел
Aipn — y,n — то. A
ф Є Dom(A), Axp = lim Ai\)n
n—oo
Теорема доказана.
Из формулы (4.238) следует, что
/(f Є BOr(R1) ,ф Є H) :
\\f (AM2 = If (- ctg(0/2)I2?WId0), (4.241)
o
где
Іі(фЩ = de <ф, EUn(0, Са(Ж))ф > . В дальнешем нам будет удобно перейти к мере (см. (4.237) на стр. 362)
V(^IdX) = dx <ф^(\,A^>. (4.242)
363
Очевидно, что порожденная функцией распределения
Л — <ф,Е(Х,Л)ф>, -то <Л< то (4.243)
борелевская мера v(ф|<іЛ) нормирована:
/те і • v (ф\аЛ) = ИФИ2 -те
и в силу (4.241) справедлива формула:
V(/ Є BOr(R1) , ф Є H) :
/те \/(Л)|ЧфИЛ), (4.244)
е
Формула (4.244) позволяет дать описание произвольного самосопряженного оператора в терминах оператора умножения на независимую переменную в пространстве L2 (X),
Л
гилъбетровом пространстве И. Тогда существуют следующие объекты:
1. нормированные на единицу борелевские меры [?j(аЛ) \ 1 < j < то),
2. разложение гильбертова, пространства, И в прямую сумму
И = Hj,
1< j<oo
3. унитарные отображения
Tj : Hj — L2(R1 ,?j(аЛ))
которые обладают следующими свойствами
1. пространства Hj приводят любую ограниченную борелевскую фупк-
Л
V(J,/ єВог-R1): /(A)Hj С Hj,
2. в пространстве Hj оператop / (Л) унитарно эквивалентен, оператору умножения на функцию /(Л) в прострапстве L2(R1, ?j(аЛ)):
V(x Є Hj) : Tj / (A)x = /(X)Tj x Є L2(R1, ?j (аЛ)). (4.245)
е
V(x Є Hj): II/(A)x||2 = \/(ВДх(Л)|2?j(аЛ) (4.246)
364
Доказательство. Фиксируем произвольно нормированный вектор в1 є И. Пусть
?i(d\) = d\ < e1, E(Л, А)ві >,
H1 = Cl{ f (А)ві | f (Л) є L2(Rl, ^Л))}.
Иі
ству L2(R1, ?1(dX)), и этот изоморфизм осуществляется унитарным оператором
причем
Ti : Hi Э f (А)ві » f (Л) Є L2(R1 , /^Л)), V(g Є BOr(R1)) : T1(g(A)e1) = д(Л)Т1(в1) = д(Л).
Если H1 = И, то в пространстве Hj1 мы возьмем нормированный вектор в2
также, как на стр. 171, векторов ej может быть не более чем счетное
H
H = ®52 H1
H
умножения в пространстве L2(R1, ?j^Л)). Описанная выше конструкция является одним из вариантов "общей спектральной теоремы". Если оператор А самосопряжен и компактен, то в качестве векторов ej можно
А
описание оператора. В общем случае для получения удобного описания оператора приходится сужать класс рассматриваемых операторов и прибегать к дополнительным приемам (вводить пак называемое оснащение исходного гильбертова пространства).
Вычислим спектральную функцию оператора — с областью определения H2(R1) С L2(R1, dx).
По определению имеем:
V(f є H2(R1)) : — dX_f (x) = exp(ix?)|?|2/(?)de
dx 2n J—те
Отсюда следует, что
Є [0 , оо) , f Є L2(R1 , dx)) : Д(Л , — ^)f (x) =
і /*оо /*оо
І(Л — |Є |2) —1 exp(ix?)f(?)d? = r(x,y,X)f (y)dy,
365
где
r(x , у , Л) = — J |(Л — |?|2)-1 exp(i(x — y)?R =
1 Г50 о і 1 /"°° і cos((x — y)^/w)
І/ — |^|2) cos((x — y)C)de = 2П I (Л — ^)-1 U J1
Поэтому
Є (0 , то)) : (д(л — іє , — dX_) — Д(Л + іє , — dXl)))f (x)
-5
где
у, л, є) = 2п^Уо ((Л — +є) -//=-
Следовательно,
і2
bfe J0 № — іє , — dX2) — + іє ' — dX2))W(x) =
1 f* ^« cos(|x — y|/0f N = /° sin(|x — у|/Л)f (y)dy,
п Л V '-оо 2V^ / J-00 П|Х — У
h
ф(—5X2)f (x) = 2П /о ф(Л) (L f (y)dy]5Л.
Иногда (особенно в теории рассеяния) бывает полезна следующая конструкция. Пусть A -самосопряженный оператор и C((a(A) — h) -множество непрерывных на a (A) функций со значениями во вспомога-
h
B дальнейше мы будем считать, что h = L2 (Sl, dcu), где Q -компактное топологическое пространство, а du; -пополнение борелевской меры на П.
В случае неограниченного интервала предплагается, что носитель каждой функции компактен. Введем в C((a(A) — h) скалярное произведение:
V(f (Л) Є C((a(A) — h), у(Л) Є C((a(A) — h)) : < f , g >:= / < f (Л) , #(Л) >h ^(5Л),
366
где ?(d\) -борелевеая мер а на a (A). Пусть проетран ство L2 (a (A) — h) есть пополнение пространства C((a(A) — h) по норме
U \ L2(a(A) — h)\\2 = j \\f(X) \ h\\2?(dX).
Ja[A)
Определение 4.9.2. Унитарное отображение
U : H — L2(a(A) — h),
называется диагонализируещим преобразованием, если при этом отобра-A
V(f Є Dom(A)) : UAf (X) = XUf (X).
L2(a(A) — h) A
как оператор умножения на функцию, и это часто упрощает изучение A
Приведем примеры.
Пусть оператор A компактен и пусть Xj , -его собственные значения и собственные функции. Тогда:
a(A) = {Xj} , Лфj(•, Xj) = Xjфj(•, Xj).
В этом случае можно положить:
h = C1 , L2(a(A) — h) = l2 , Uf (Xj) =< ф(- ,Xj) ,f>.
Если постранство H = L2(Rn , dx), а преобразование U мы ищем в виде
Uf (X ,") = J e(x, X, u)*f (x)dx , (4.247)
U
уравнению
?(dX) X du п.в. : Axe(x , X , и) = Xe(x , X , и). (4,248)
Вообще говоря, решения уравнения (4,248) могут не принадлежать пространству L2(Rn , dx) (проблема ненормируемых "собственных функций
U
L2(Rn , dx) L2(R2 , dx)
Сейчас для наиболее часто встречающихся случаев разработана эффективная техника решения этой проблемы.
367
По этому поводу можно заметить следующее.
