Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 74

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 110 >> Следующая

Обычно спектральная функция доопределяется на всю числовую ось равенствами
E (X,A) = 0 ,X<a = inf {< f,Af>\ Hf H = l},
E(X, A) = id ,X > b = sup{< f,Af>\Hf Hf = l}. (4.127)
A Є L(H —
H)
E(X , A)
1. Для любого X Є R1 onepamop E(X , A) -самосопряженный проектор:
V(X Є R1) : E(X , A)2 = E(X, A). (4.128)
2. Операторная функция A — E(A, А) неубывает:
(A2 > A1) == (E(A2, А) > E(A1, А))
и в каждой точке A функция A — E(A, А) непрерывна справа в том смысле, что
Є H , A Є R1) : lim H(E (A + є, А) — E(A, А))ф|| = 0.
3. Справедливо равенство
V(A1 Є R1, A2 Є R1) : E(A1, A)E(A2, А) = E(min(A1, A2), А). (4.129) J1.. Если
то
(A1 , A2^(As , A4]= 0
(E(A2, А) — E(A1, А)) • (E(A4 , А) — E(A3, А)) = 0.
5. Если функция, / непрерывна, справа, па, отрезке [а, Ъ], то справедливо равенство
Є H): <ф,/(А)ф>= /" /(A)dA <ф,E(A,A)ф>, (4.130)
J а
/
грал Римана-Стилътъеса по неубывающей функции
A —< ф, E(A, А)ф > .
В общем случае интеграл в (4.130) понимается как интеграл Лебега-Стилътъеса. 6. Если
< ф, E(A — 0 , А)ф >=< ф, E(A + 0 , А)ф >, (4.131)
то справедливо равенство
< ф, E(A, А)ф >= 1 [л
lim—/ <ф, — іє,А) — R(<7 + гє,А))ф>^а. (4.132) е^+о 2пг
OO
319
Доказательство. Утверждение 1 следует из того, что характеристическая функция удовлетворяет равенству
V(x є [а , b]) : 1([а , A]) | x)2 = 1([а , A]) | x)
и того факта, что отображение opb^ есть алгебраический гомоморфизм. Докажем утверждение 2. Так как
V(A є [а , b], 6n — 0) : [а , A] = р|[а ,A + eJ,
то
V(A, ? є [а^]): I([а,A + 0] | ?) = I([a,A] | ?).
В силу теоремы 4.5.1 отсюда следует, что
, // є H) : < ф, E (A + 0 ,Л)/ >=< ф , E (A , Л)/ > .
Но
є H): H(E(A, Л) — E(A + е,Л))ф||2 = < ф, (E (A ,Л) — E (A + е, Л))ф >— 0 , е — 0.
Утверждение 3 следует из того, что характеристическая функция удовлетворяет равенству
1([а , A1]) | x) • 1([а , A2]) | x) = 1([а , min(A1 , A2)]) | x).
Утверждение 4 следует из утверждения 3. Утверждение 5 следует из теоремы 1.2.3 (см. стр. 55).
Докажем утверждение 6. Справедливо равенство
— / < ф , (R(a — ге, Л) — R(a + ге , Л))ф > da = 2пг J-00
л
1
2ттг
а,<ж<ь —оо
a — ге — x) 1 — (a + ге — x) ^ da j/(ф | dx)
1/" (^(^-^) + |) /(ф | dx) (4.133)
320
Если выполнено условие (4,131), то ц(ф j dx)-Mepa точки x = A равна нулю, поэтому
Іі(ф j dx) п.в, : lim — (arctg ( (-+— ) = I([a , A]) j x).
e^+o \ є / 2 J
Переходя на основе теоремы Лебега к пределу в (4,133), мы получаем равенство (4,132), Теорема доказана.
Заметим, что из утверждения 6 следует, что спектральная функция E(A, A) однозначно определяется оператором A и что резольвентное множество есть множество меры ноль относительно меры ц(ф j dx).
Функция
A — < ф, E(A , A)g >
может принимать комплексные значения и при принятом нами определении интеграла Римана-Стильтьеса мы не можем взять ее как интегрирующую функцию. Мы примем следующее
Определение 4.5.4. Положим
f(A)dx <ф, E(A,A^ >= В(ф,ф j f), (4.134)
где стоящая в правой части билинейная форма задана равенством (4.120).
ф=ф Стильтьеса.
Непосредственно из определения (см. определение 4.5.2 на стр. 316) следуют равенства
/ f(A)dx <ф,Е(A, Л)ф >=
dx < f (А)ф , E (A ,А)ф>= J dx <ф, E (A , A) f (А)ф >,
J dx < ф, E(A, Л)ф >=< ф, ф > .
При фиксированны f и ф функционал
ф — Jf(A)dx <ф,E(A,A)ф>
сопряженно-линеен и непрерывен, поэтому на основе теоремы Рисса
3(g Є H) , Є H) : <ф^>=1 f (A)dx <ф^(A , Л)ф > . (4.135)
321
Если выполнено равенство (4,135), то мы положим по определению
У f (\)d\E (\,Л)ф = д, (4.136)
J f (\)d\E(X , Л) : ф f (\)d\E(X , Л)ф. (4.137)
Рассмотрим примеры. Л
пространстве И, Из (4.40) следует, что
E (X , Л)ф =Y <ез ,Ф> ез. (4.138)
Если пространство И есть L2(D , dx), то спектральная фукция есть интегральный оператор с ядром
в(х,у,х)=^ ез(x)ei
Л
х в гильбертовом пространстве L2([0, 1] , dx):
Лф(х) = хф(х). Л
независимой переменной х, и спектральная функция оператора Л -это оператор умножения на характеристическую функцию отрезка [a , X]:
E(X, Л)ф(х) = I([a, X]) | х)ф(х).
3. Следующий пример называется моделью Фридерихса и часто исползу-ется при рассмотрении задач квантовой механики. Мы рассмотрим этот пример в упрощенной формулировке и выделим его в отдельный параграф.
Модель Фридерихса. В пространстве L2([0, 1], dx) рассмотрим оператор
B : Вф(х) = хф(х) + ^ J0 а(х)ф(хЦх^ а(х), а Є C0°°([0 , 1]). (4.139)
Обратим внимание на то, что мы предполагаем функцию а(х) действи-
х = 0 , х = 1
322
Воспользуемся изложенной в лемме 3.10.3 (см. стр. 246) конструкцией. В нашем случае
a = A , A<(x) = x<(x) , b = B , (b - a)<(x) = ? < a , ф > a(x).
Сначала будем предполагать, что ImX = 0. Так как операторы A и B самосопряжены, то в рассматриваемом случае X Є res(A)C] res(B) и оператор T(X , A , B) определен. Так как в рассматриваемом случае
(b- a) a(x)
T( X , A , B)
a(x)
T(X, A, B)ф^) = c(X^)a(x). (4.140)
Подставив это выражение в уравнение (3.114), мы получим уравнение c( X , ф)
c(X , ф) = ? < a , ф > +? < a , R(X , A)a > c(X , ф). (4.141)
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed