Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
n—>oo
314
OpbA(f) = lim OpbA(Pn(X)). (4.115)
то
Фиксируем вектор ф Є H и на пространстве C([—HAH , HAH]) рассмотрим линейный функционал:
C([—HAH , HAH]) э f(A) — /о(ф | /) ==< ф, OpbA(f)ф > . (4.116)
C([—
удовлетворяет условиям элементарного интеграла в схеме Даниэля и неравенствам:
Є H,/ Є C ([—HAH , HAH])): |/о(ф | /)| < НфН2sup{|/(A)| | A Є [—HAH , HAH]}, (4.117)
(V(A Є [—HAH , HAH]) : /(A) > 0) == (< ф, /(А)ф >> 0). (4.118)
/
ли
V(A Є [—HAH , HAH]): /„(A) > 0 , /„(A) \ 0 ,n — со, то в силу теоремы Дини
sup{/„(A) | A Є [—HAH , HAH]} — 0 ,n — со,
поэтому в силу оценки (4.117)
/о(ф | /„) — 0 , n — со.
Докажем неотрицательность функционала (4.116). /
A — (/(A))1/2
непрерывна и неотрицательна. Поэтому существует такая последовательность полиномов Q„(A), что
Q„(A) - (/(A)1/2, Q„(A) - (/(A), n — о.
Следовательно,
< ф, /(А)ф >= lim < ф, д„(А)2ф >=
< <Э„(А)ф, д„(А)ф>> 0.
Рассмотрим пространство C([—HAH , HAH]) как пространство элементарных функций при построении интеграла Даниэля.
315
Определение 4.5.1. Функционал / — I(ф | /) -это построенное по схеме Даниэля расширение элементарного интеграла I0(ф | /) и //(ф | dx) -мера на отрезке [—||Л|| , ||Л||], которая порождена интегралом I(ф | /):
V(m є B([—||A|| , HAH])) : /(ф | m) := I(ф | I(m | •)).
Из теоремы 1,2,2 (см, стр. 55) следует, что любое борелевское подмножество отрезка [—HAH , ||A||] при любом ф є H измеримо относительно меры /(ф | dx) и пространство интегрируемых по мере /(ф | dx) функций содержит множество Bor([—||A|| , HAH]) всех ограниченных измеримых по Борелю функций на отрезке [—HAH , ||A||],
Можно доказать, что множество [—HAH , HAH] \ 0"(A) есть множество меры нуль относительно меры /(ф | dx).
Множество Bor([—||A|| , HAH]) есть алгебра относительно операций поточечного сложения и умножения функций. С помощью интеграла / — I(ф | /) мы построим зависящий от оператора A гомоморфизм
OpbA : Bor([—||A|| , HAH]) — L(H — H) (4.119)
алгебры Bor([—HAH , HAH]) в некоторую коммутативную подалгебру алгебры L(H — H). Гомоморфизм OpbA мы будем строить так. Фиксируем функцию / є Bor([—HAH , HAH])5 которая принимает действительные
H
строим билинейную форму
B(ф, // | /) := 4 ? ik[I(ikф + // | /). (4.120)
0<fc<3
Из оценки (4.117) следует, что для любой действительной ограниченной функции / є Bor ([а, b]) билинейная форма (4.120) удовлетворяет неравенству
ТО, // | /)| < ||ф||||//|| sup{|/(A)| | A є [а, b]}. (4.121)
Из этого неравенства и теоремы Лакса-Мильграма-Вишика (см. стр. 282) следует, что билинейная форма (4.120) задается линейным непрерывным оператором.
Расширим область определения отображения opb^.
Определение 4.5.2. Отображение opb^ каждой действительной функции / є Bor([—||A|| , ||A||]) ставит в соответствие оператор opb^(/) = /(A), который удовлетворяет равенству
B(ф,// | /)=<ф,/(A)/>, (4.122)
316
где билинейная форма В(ф, ф j f) определена равенством (4,120).
На комплексные функции отображение ОрЬл распространяется по линейности.
Теорема 4.5.1. Отображение OpbA удовлетворяет следующим условиям.
1. Отображение OpbA линейно: OpbA : BoT(HAH , \\A\\]) э (af + ?g) - (af (A) + ?g(A)) Є L(H - H).
2. Отображение OpbA произведение функций, переводит в композицию) операторов:
OpbA : Bor([—\\A\\ , \\A\\]) э f (x) • g(x) - f (A)g(A)) Є L(H - H).
3. Отображение OpbA переводит функцию, тождественно равную единице, в единичный, оператор:
OpbA : 1 — id.
J1.. Отображение OpbA действительные функции, переводит в самосопряженные операторы, неотрицательные действительные функции переводит в неотрицательные операторы и удовлетворяет условию
ОтЫФ*) = ОтЫФУ, (4.123)
где ф* -функция, комплексно сопряженная, функции, ф , ОрЬА(ф)* -оператор, гильбертово сопряженный, оператору ОрЬА(ф).
f
ведлива, оценка,
\\f(A)\\< sup{jf(A)jj A Є [—\\A\\ , \\A\\]}. (4.124)
6. Если
V(x Є [—HAH , \\AH]) : fn(x) - 0 , Vn : jfn(x)j < const.,
mo
V^, ф Є H): <ф, fn(AYl) >- 0 ,n -то.
Доказательство. Утверждения теоремы очевидны для полиномов, а для остальных функций получаются предельным переходом.
Отображение OpbA иногда называется борелевским операторным исчислением. Особую роль в этом исчислении играет рассматриваемый как
317
X
318
OpPbA характеристической функции отрезка [-HAH , X] , X Є [-HAH , HAH]-
[-| A| , X]
равенством
(l , -HAH < x < X< HAH, !([-HAH ,X] \ x) = І0 , X<x < HAH, (4.125)
[l ,X = HAH.
По сображениям технического порядка (так как мы используем лемму 4.5.1вместо точной оценки (4.105)) мы определим спектральную фунцию так.
Определение 4.5.3. Спектральная функция E(X , A) ограниченного (aid < A < bid самосопряженного оператора A -это образ функции x — !([-HAH , X] \ x)) при отображении Opb^-
E (X ,A) = OpbA(!([-HAH ,X] \-))
Можно показать (это будет следовать из дальнешего),что можно быо бы определить спектральную функцию как образ функции x — !([-HAH , X] f] er (A)
x))
Таким образом,
V(< Є H) : <ф,Е (X,A)<>= j !(-HAH ,X]) \ x)?(< \ dx),
[-\\A\\<x<\\A\\
(4.126)
где мера ц(ф \ dx) задана согласно определению 4.5.1.
