Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Диагонализируещее преобразование можно и не искать в форме (4.247). На примере модели Фридерихса мы показали, как можно найти диагонализируещее преобразование, не обращаясь к формуле (4.247).
2. Обычно бывает нужна не формула для диагонализируещего преобразования, а знание его свойств. Эти свойства часто проще получить другими методами, не основанными на формулах для диагонализируещего преобразования.
Рассмотрим некоторые примеры. Пусть
d2
H = L2(R1, dx), Dom(A) = H2(R1) , A = - — .
dx2
(Производная здесь понимается в обобщенном смысле см. стр. 453.) Имеем:
1 Г00 .2, ,2,. 1
Jo
Из приведенной выкладки следует, что преобразование
<f,Af>=2n e2!/(e)|2de =4- A (If(Vx)2 + |/(-Va)|2) A-1/2dA.
U : L2(R1, dx) — L2((0 , то) — R2),
'f(-VA) /(VA)-
Uf (A)
диагонализует оператор — в проетранетве L2(R1, dx). Аналогичная выкладка показывает, что преобразование
U : L2(Rd , dx) — L2((0 , то) — L2(SW , du)), Uf (A, u) = (2n)-d/22-1/2A(d/2-1)/2/(WV7A),
где S'.,. -одиничная сфе pa в Rd со стандартной мерой du (в трехмерном случае du = sin QdQd<$), диагонализует one ратор — А в проетране тве L2(Rd , dx).
368
4.10 Коментарии и литературные указания.
Изложенные в этой главе сведения из теории гильбертовых пространств есть во многих учебниках функционального анализа. С точки зрения автора, для специалиста по математической физики интересены учебники [34, 31, 42]. При изложении спектральной теории мы использовали теорему Вейрштрасса и явную конструкцию гомоморфизма алгебры функций в алгебру операторов. Можно существенно упростить доказательства, если опираться на некоторые теоремы и констукции общей алгебры (понятия кольца и идеала). Простое изложение спектральной теории, которое использует алгебраические конструции, есть в [41] , [44]. Интересный подход к понятию положительных элементов развит в параграфе 2.2.2 книги [37]. Для физика будет интересена трактовка спектральной теоремы с точки зрения теории оснащенных (rigged) гильбертовых пространств. С этим направлением можно познакомиться по работам [47] , [48] , [49]. В последнее время стал популярен подход к построению спектральной функции, который опирается на аналитические свойства резольвенты оператора и методы теории функций комплексного переменного. Доступное изложение этого подхода есть в лекциях [43].шроко испол
Модель Фридерихса обсуждается в работах [50, 51].
Мы описали только один из возможных подходов к построению рас-ширния операторов: расширение по Фридрихсу. Это расширение часто используется в математической физике. Расширение по Фридрихсу можно построить на основе вариационной процедуры, которая описана, например, в книге [42]. В теории расширения симметричных операторов
А
n± = dim(Ker(iid q= А*)).
Теория расширений дифференциальных операторов с обыкновенными производными изложена в книге [45]. С теорией расширения эллиптических дифференциальных операторе в частных производных можно познакомиться по цитированной в [46] литературе. Изложение общей теории расширений теории есть в книгах [31, 42].
Книга [38] донесет до читателя свежесть первоисточника. Для подготовленного читателя будет интересна книга [35]. Стандартым источником ссылок на математические проблемы квантовой физики являются книги [23]-[26].
369
370
Глава 5
Элементы математической теории рассеяния.
5.1 Абсолютно непрерывный и сингулярный спектр оператора.
HA оператор в H, E(X , A) -спектральная функция оператора A. Мы будем считать, что функция E(X , A) доопределена нулем на множество {X < inf a(A)} и доопределена как единичный оператор на множество {X > supa(A)} (если эти множества не пусты),В дальнейшем по умолчанию все интегалы без указания пределов интегрирования берутся от — оо до оо.
Пусть [а , Ь] С R1 -произвольный от резок, Bor ([а , Ь]) алгебра все боре-левских подмножеств отрезка [а , Ь]. Каждому множеству m Є Bor ([а , Ь]) поставим в соответствие задаваемый квадратичной формой проектор:
У(ф Є H) : Bor([a ,Ь]) э m —< ф , P(т)ф >=
Jl(m \ X)dx <ф,Е(X,A^>. (5.1)
ф Є H
[а , Ь]
/і(ф \ •) : Bor(a ,Ь]) — /і(ф \ т) =< ф , P(т)ф > . (5.2)
A
Іі(ф \ m)=Y \ф^,
371
где Л j -собственные значения оп ератора A, фі -коэффициенты Фурье по
A
Если A = —А, то
Мф | m) = (2vr)-d J |Рф(?)|2dC. H
H = Hac 0 Hs. (5.3)
Если ф Є Hac, то определенная равенством (5.2) мера /(ф | •) на любом [a , b] R1
Если ф Є Hs, то определенная равенством (5.2) мера /(ф | •) на любом, [a , b] R1
Af
R1
f (A)Hac С Hac , f (A)Hs С Hs. (5.4)
Доказательство. Обозначим символом |m| меру Лебега множества m Є Bor([a, b]). Напомним, что мера /(ф | •) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, если
(|m| =0) == (/(ф | m) = 0).
Hac С H : ф Є Hac V[ a , b] С R1
[a , b] /(ф | • )
Множество Hac есть линйное пространство, так как если ф Є H , г є H то
< (ф + ф), P(т)(ф + ф) >=< ф , P(т)ф > + < ф , P(пг)ф > + 2Re < ф , P(пг)ф >= 0,
при
< ф , P(гп)ф >= 0 , < ф , P(m)ф >= 0.
P(m) Hac
реме Леви о проекции
H=0 Hac.
Ниже мы докажем, что
Hs = Hi (5.5)
372
Получим другое описание пространств Hac и H3. Так как H = ®Y1 (E (n ,А) — E (n — 1, А))^
