Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
H
H+
[ , ]+ и нормой
^(f Є H+): Wf W+ =[f,f ]+. 3. Выполнено неравенство
^(f Є H+): Wf W+ >Wf W.
Приведем пример. Пусть
H = L2(R1 ,dx) ,H+ = {f I j If (x)l2(1 + x2)dx < то}, V(f Є H+ ,g Є H+) : [f,g]+ = J f *(x)g(x)(1 + x2)dx.
Нетрудно проверить, что в этом примере выполнены все сделанные выше предположения.
g Є H H+
онал:
H+ Э f —<g,f>. (4.200)
H+ H+
I <g,f> I < WgW •WfW < WgW •WfW+.
348
Следовательно, по теореме Риееа об общем виде линейного непрерывного
H+
ет такой вектор Jg, что
y(g Є H,f Є H+): [Jg, f]+ =< g , f > . (4.201)
Формула (4.201) определяет линейный оператор
J : H ^ H+ С H.
Для рассматриваемого нами примера равенство (4.201) принимает вид: Jg*(x)f(x)(1 + x2)dx = g*(x)f(x)dx,
поэтому в рассматриваемом нами примере
Jg(x) = (1 + x2)~lg(x).
J
Лемма 4.8.1. Справедливы неравенства
WJ IL(H H+)W< 1. (4.202)
WJ IL(H H)W< 1. (4.203)
Доказательство. Имеем:
4g Є H) : WJg IW+ = sup{I[Jg,f]+I I Wf W+ < 1} =
sup{I <g,f> 11 WfW+ < 1}< sup{I <g,f> 11 WfW< 1} = WgW.
Первое неравенство доказано. Второе есть очевидное следствие первого.
J
Ker(J) = 0. Cl(Im(J)) = H+.
H+
Доказательство. Если f Є Ker(J), то
W(g Є H+):[Jf,g]+ =< f , g >= 0.
H+ H f = 0
Если g Є H+ , g±Im(J), то
(W(f Є H) : [Jf ,g]+ =<f,g >= 0) = (g = 0).
Лемма доказана. Из леммы 4.8.2 вытекает
349
Следствие 4.8.1. Оператор J 1 определен на плотном в пространстве H
Im(J) С H+ С H.
Лемма 4.8.3. Оператор J-1 симметричен на пространсве Im(J) от-
< , >
Доказательство. Имеем:
V(f Є Im(J) , g Є Im(J)) : < J-1f , g >= [f , g]+ = [g,f] + =< J-1g,f >*=<f, J-1 g>.
Лемма доказана.
J
H
J
H
V(f Є Im(J) , g Є Im(J)) : < J-1f , g >=< f , J-1g > . Заменяя в этом равенстве
f — Jf , g — Jg,
мы получим:
V(f Є H,g Є H) : <f, Jg>=< Jf ,g>. JH
J
следует из равенства
< ^ Jg >= [Jg, Jg]+ > 0. J
J-1
Dom(J-1) = Im(J) С H
H
350
В рассматриваемом нами примере
Im(J) = {f \ f (x) = (1 + x2)-1g(x), g(x) є L2(r1, dx)} = {f \ (1 + x2)f (x) є L2 (r1 ,dx)}
J-1f (x) = (1+ x2)f (x). H
//(f є H,g є H ):[f,g]- = [Jf , Jg]+. (4.206)
H
\\f \\- = [f,f]-. (4.207)
Лемма 4.8.5. Справедливо неравенство
/(f є H) : \\- <\\f \\. (4.208)
Доказательство. Имеем:
/(f є H) : \\- = \\Jf \\+ <\\f h2.
H-
H \ \ - [ , ]-
H H- \ \ -
В рассматриваемом нами примере
\\f \\- = J(X+ x2)-2\f (x)\2 (1 + x2)dx = + x2)-1\f (x)\2dx.
J
HJє l(H- — H+) , //(f є H) : J(f) = J(f). Оператор J удовлетворяет условиям:
Dom(J) = H- , Im(Jj) = H+ , Ker(J) = 0 , \\J \ l(H- — H+)\\ = 1.
351
Доказательство. По определению, имеем:
V(f Є H) : Wf W- = \\Jf \\ + (4.209)
H H-
непрерывное отображение
J Є L(H- » H+),
H-
но, пусть
f Є H- , \\f - fn\\- » 0 ,n »то , fn Є H.
Из (4.209) следует, что последовательность Jfn фундаментальна в про-H+
Jf := lim Jfп.
п—юо
Докажем, что множество Im(J) замкнуто в H+. Пусть
Jfn » g,n »то.
fn
H-
3(fo Є H-) : fo = lim fn и g = J(fo).
n—0
Если Im(J) = H+ то существует g Є H+, glIm(lJ), но тогда
V(f є H) : <f,g>=[Jf,g]+ = 0.
Следовательно, g = 0 и Im(J) = H+. Остальные утверждения леммы тривиальны.
JJ
\\J-1 I L(H+ » H-)\\ = 1.
Теорему 4.8.1 можно изложить в немного другой редакции.
H
вать как билинейную форму, заданную на декартовом произведении H х
H+
H х H+ э f х g »<f,g^ C1. (4.210)
352
Теорема 4.8.2. Билинейная форма (4,210) продолжается по непрерывности на декартово произведение пространств H- х H+ и ее продолжение:
[ , ]о : H- х H+ — C1 , V(/ х g Є H х H-) : [f , g]o =< f , д > (4.211)
приводит пространства, H-u H+ в двойственность: любой, линейный
H+
лен в виде:
H+ э g — [f,g]o,/ Є H-, (4.212)
H-
жет быть представлен в виде:
H- э f — [f , g]S , g Є H+. (4.213)
Доказательство. Напомним, что декартово произведение пространств H- х H+ рикой
d(f х g,f' х g') = Hf - f'И- + |g - g'||+.
Имеем:
V(f х g Є H х H+) : | < f , g > | = |[Jf , g]| < HJf H + HgH+ =
| g| +.
Отсюда следует, что билинейная форма (4.210) продолжается по непре-
H- х H+
последовательность fn х gn Є H х H+ фундаментальна в метрике про-H- х H+
fn х gn — fo х go Є H- х H+ , n — то, < fn , gn >
H+ э g — [f , g]o , f Є H- , H- э f — [f , g]*, g Є H+
задают линейные непрерывные функционалы на соответствующих пространствах. Докажем, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве H+ может быть представлен в виде (4.212). Пусть / -такой функционал. По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве существует такой вектор go Є H+
V(g Є H+) : /(g) = [go , g]+.
353
Тогда мы имеем:
l(g) = [go , g}+ = [JJ-1go , g]o.
Аналогично доказывается, что любой линейный непрерывный функцио-
H-
доказана.
Пространства H+ , H- и билинейная форма [ , ]0 называются осна-
HH
H+ , H-
4.8.2 Полуограниченные эрмитовы формы и расширение операторов по Фридрихсу.
Dom(B) H
гообразие. Функция
B : Dom(B) х Dom(B) Э x х y — B(x , y) Є C1
называется полуограниченной эрмитовой формой с областью определе-Dom(B)
1, Функция B(x , y) линейна по второму агрументу: //(x Є Dom(B) , y Є Dom(B)) : B(x , ay1 + ?y2) = aB(x , y1) + ?B(x , y2).
