Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2, Выполнено условие:
/(x Є Dom(B) , y Є Dom(B)) : B(x , y) = B(y , x)*.
3. Существует такая константа -о < M < о, что
//(x Є Dom(B)) : либо B (x , x) < M\\x\\2 ,либо B(x , x) > M\\x\\2.
Если эрмитова форма B (x , y) ограничена, то в силу теоремы Лакса-Мильграма-Вишика существует такой ограниченый самосопряженный оператор Л, что
//(x Є H ,y Є H) : B (x , y) =< x , Ay > . (4.215)
B(x , y)
ставлена оператором Л. Если форма неограничена, то, вообще говоря, она не может быть представлена оператором (соответствующий пример будет приведен ниже). Нас будет интересовать вопрос о том, при каких
354
условиях полуограниченная форма может быть представлена самосопряженным оператором.
Если форма B(x , y) представлена оператором A, то при замене
B(x , y) — ±B(x , y) + а < x , y > , а Є R1. (4.216)
A
A — ±A + aid.
Ясно, что с помощью замены (4,216) можно получить форму, которая будет удовлетворять неравенству
V(x Є Dom(B)) : B(x , x) > \ x\ 2.
В дальнейшем мы будем считать, что неравенство (4,217) выполнено. Удовлетворяющая условию (4.217) эрмитова форма B(x, y) на про-Dom(B)
V(x Є Dom(B)) : \ x | B\ 2 = B(x , x).
B(x , y)
Dom(B)
нормы (4.218).
Пусть Hb -пополнение пространства Dom(B) по норме (4.218). Если {xn} С Dom(B) -сходящаяся то метрике пространства Hb последовательность:
\ xn - xo | B\\ — 0 , xo Є Hb, (4.219)
{xn} С Dom(B)
H
делено отображение
I : Hb — H , I(x0) = lim xn. (4.220)
n—oo
H
Определение 4.8.2. Эрмитова форма B(x , y) замыкаема, если определенное формулой (4.220) отображение имеет нулевое ядро:
Ker(1) = 0.
355
Приведем примеры. Пусть
H = L2(R1, dx) , Dom(B) = S(R1),
B(f , g) = J(/ *(x)g(x) + Dxf (x)*D*g(x))dx = (4.221)
(Sn)"1/ (1 + ? 2)/*(e)?(e)dC. (4.222)
В этом случае
Hb = {/ | /(1 + Є2)|/(?)|Ч < oo} , Ker(1) = 0
и форма (4.222) замыкаема. Пусть
H = L2(R1, dx) , Dom(B) = S(R1),
B(/ , g) = J /*(x)g(x)dx + /*(0)g(0). (4.223)
В этом случае
Hb = L2(R1, dx) 0 C1 , Ker(1) = 0 0 C1 = 0
и форма (4.223) не замыкаема (и не может быть представлена действующим в пространстве L2(R1, dx) оператором).
Если эрмитова форма B замыкаема, то пространство Hb (пополне-Dom(B) \ | B\
ного равенством (4.220) отображения I можно вложить в пространство H
Hb, поэтому можно считать, что пространство Hb есть подмногообразие H
Hb С H,
а эрмитова форма B то непрерывности продолжена на Hb.
B
ценная эрмитова форма, то существует такой самосопряженный опе-A
A Dom(B)
Dom(B)
Dom(A) С Dom(B) , Cl(Dom(A)) D Dom(B), (4.224)
356
2. Справедливо равенство:
/(x Є Dom(B) , y Є Dom(A)) : B(x , y) =< x Ay > . (4.225)
Удовлетворяющий условиям 1-2 самосопряженный оператор един-
B
A
перейдем к форме, которая удовлетворяет неравенству (4.217). Далее используем конструкцию, описанную в предыдущем параграфе: пусть
Dom(B) = H+ , B(x ,y) = [x,y]+ ,A = J-1,
J-1
душем параграфе, условия 1-2 выполнены. Докажем единственность опе-A Ao
//(x Є Dom(A0)) , B(x , x) = [x , A0x]+ > \\x\\2,
то
Ker(Ao) = 0
Ao-1
//(x Є Dom(B) , y Є Dom(Ao)) :
<Aoy,x >= [y , x\+ = [JAoy , x\+ = [Aoy , Jx]+ = [y , A0Jx]+, <y,x>= [A-1y , x\+ = [Jy , x]+.
Dom(Ao) Dom(B)
оператор A0 непрерывен как оператор L(H+ —> H) и совпадает на плот-H+ J-1 Ao-1
Dom(B) J
Dom(A) H
A Dom(A)
ченный оператор:
//(x Є Dom(A) , y Є Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >,
//(x Є Dom(A)) : < x , Ax >> M\\x\\2 или < x , Ax >< M\\x\\2. (4.226)
AH
Dom(A)
//(x Є Dom(A), y Є Dom(A)) : B(x , y) =< x , Ay > эрмитова, полуограничена и замыкаема.
357
Доказательство. В нем нуждается только последнее утверждение. Без ораничения общности будем считать, что выполнено неравенство (4.217). Нам нужно доказать, что если последовательность {xn} С Dom(A)) удовлетворяет условиям:
1. Последовательность {xn} фундаментальна по норме
Ilx | B||2 = B(x , x).
2. Последовательность {xn} сходится к нулю в пространстве И:
||xn|| —> 0 , n — сю,
то
B(xn , xn) —> 0 , n — со.
Пусть пространство И в есть пополнение простр анства И то норме || |
B|| и x0 Є Ив -предел последовательности {xn}. Имеем:
V(x Є Dom(A))) : |B(x , x0)| = lim |B(x, xn)| =
n—>oo
lim | < x , Axn > | = lim | < Ax , xn > | < lim ||Ax|| • ||xn|| = 0.
n—oo n—oo n—oo
Dom(A) Ив x0 = 0
Теорема доказана.
Пусть A -опреденный на плотном в гильбертовом пространстве И ли-Dom(A)
тор.
Заменой
Л : A — ±A + aid (4.227)
можно сделать так, что порожденная оператором ЛA эрмитова форма
V(x Є Dom(A), y Є Dom(A)) : B(x , y) =< x , ЛAy > (4.228)
будет удовлетворять неравенству:
V(x Є Dom(A)) : B(x , x) > ||x|2.
Сделаем такую замену и пусть B -замыкание формы (4.228), а Л A -оператор, который представляет форму B:
V(x Є Dom(B) , , y Є Dom^A)) : B(x , y) =< x , ЛAy > .
Оператор
A := Л-та (4.229)
самосопряжен и удовлетворяет условиям:
Dom(A) С Dom(A) С Dom(B) , V(x Є Dom(A)) : Ax = A(x).
Оператор A называется расширением no Фридрихсу оператора A. Это расширение часто используется в математической физике.
358
4.9 Преобразование Келли и спектральное разложение неограниченных операторов.
Дробно-линейное преобразование
