Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
z — (z — i)/(z + i)
переводит прямую R1 в окружность
z = exp(iO) , 0 < O < 2п.
Спектр любого самосопряженного оператора лежит на действительной оси. Следовательно, если A -ограниченный самосопряженный оператор, то по теореме об отображении спектра спектр оператора
Ca(A) = (A — iid) • (A + iid)-1 (4.230)
лежит на единичной окружности и оператор Ca(A) унитарен. Мы докажем, что оператор Ca(A) унитарен для любого самосопряженного опе-A
A
Ca(A)
A
ремы 4,7.3
Dom(A + iid)-1 = H , Im((A + iid)-1) С Dom(A — iid),
поэтому произведение операторов в (4,230) корректно определено и Dom(Ca(A)) = H
Ca(A)
A
Прямое вычисление показывает, что справедлива
Ca(A)
Gr(Ca(A)) = {(A + iid)h 0 (A — iid)h | h Є Dom(A)}. (4.231) Из этой леммы вытекает
359
Лемма 4.9.3. Преобразование Келли самосопряженного оператора удовлетворяет условиям:
Dom(Ca(A)) = H , Im(Ca(A)) = H,
Ker(Ca(A)) = 0 , Ca(A)-1 = Ca(A)* (4.232)
и унитарно.
A
мы 4.7.3
Im(A ± iid) = H.
Отсюда следуют первые два утверждения леммы. Второе утверждение леммы следует из равенства (4.189). Из этого же равенства следует, что множество
Gr(Ca(A)-1) := {(A - iid)h е (A + iid)h \ h Є Dom(A)} есть график оператора. Очевидно, что это график оператора, обратного
Ca(A)
Ca(A)
метричен:
/(ф Є H): \\Ca(A)<l>\\ = \\ф\\. Ca(A)
доказана.
A
Ca(A)
z = exp(iO) , 0 <01 < в < 02 < 2п
и точка z = 1 не принадлежит спектру оператора Ca(A). Следовательно, (Ca(A) - id)-1
A = -i(Ca(A) + id)(Ca(A) - id)-1. (4.233)
Поэтому согласно теореме 4.6.2 справедливо равенство
/(ф Є H ,f Є BOr(R1)): <l,f(A)I >=
Г f (-i ^Ґі + 1) do <Ф, Еип(в , Ca(A))I >= J0 \ exp(i0) - IJ
\ f (- ctg(e/2))de < ф , Eun(в , Ca(A))I > . (4.234)
0
360
Интеграл в (4,234) нужно понимать как интеграл Лебега-Стльтьееа.
f
функцию полуинтервала (то , Л], мы получим:
V(0 Є H , Л = — ctg(0/2)) : < ф, E(Л , A)0 >=< ф, Eun(O , Ca(A))0 > .
Если оператор A неограничен, то точка z = 1 принадлежит спектру оператора Ca(A) и оператор (Ca(A) — id)-1 не существует, поэтому предыдущие рассуждения для неограниченного оператора не проходят. Но ограниченную функцию от неограниченного оператора можно просто определить равенством (4,234), Покажем, как это можно сделать.
Напомним, что заданная на действительной прямой функция измерима по Борелю, если ее сужение на любое компактное множество измеримо по Борелю.
Преобразование
Ca: Ca(f)(0) = f(— ctg(0/2)
переводит алгебру всех ограниченных измеримых по Борелю функций на действительной оси BOr(R1) в алгебру Bor([0 , 27г]). Пусть A -произвольный (ограниченный или нет) самосопряженный оператор. Ниже под отображением Opca(A) нам будет удобно понимать его регуляризацию, которая стоится так. Для неотрицательных ограниченных измеримых функций f Є Bor([0 , 2п]) мы полагаем
Є H): <ф, Opca(A)(f)ф>:= lim < ф , opca(A)№ , 2п — є] | •f )ф > . (4.235)
где в правой части Opca(A) -заданное определением 4.5.2 (см. стр. 316) отображение. Существование предела в (4.235) очевидно, так как правая часть (4.235) ограничена и не убывает как функция є. На остальные функции f Є Bor([0 , 2п]) отображение Opca(A) распространяется по линейности. Из теоремы 4.6.1 и формулы (4.234) вытекает
Теорема 4.9.1. Отображение
OpbA : BOr(R1) э f — Caf — Opca(A) Є L(H — H) (4.236)
переводит алгебру BOr(R1) в коммутативную подалгебр у алгебры L(H — H) A
иичеи, mo отображение (4.236) совпадает с описанным, в теореме 4-5.1 отображением, OpbA.
361
A
ция
R1 Э - ctg(0/2) — E(- ctg(0/2), A) = Eun(? , Ca(A)) (4.237)
совпадает с введенной в определении 4.5.3 спектральной функцией, для
A
равенством (4.237).
Теорема 4.9.2. Вектор ф принадлежит области определена, оператора, A
ственный, интеграл, Римана,-Стильтьеса, в правой, части, (4.238) и, в этом, случае
иф\\2 = (ctg(e/2))2de <ф, Eun(0, Ca(A))^P >. (4.238)
0
Доказательство. Пусть
ф Є Dom(A), ф = (A - М)ф , Ca(A^ = (A + М)ф.
Тогда
= (ф - Ca(A^) =(ф + Ca(A^) ф 2i , ф 2 .
Следовательно,
< ф , Eun(a , Ca(A)^ >= 1 Га
- \1 - exp(i0)\2de <ф,Eun(в,Ca(Л))ф>= 4J о
(sin(e/2))2de < ф , Eun(0 , Ca(A)^ >, (4.239)
0J 1 fa
= - \1+exp(i0)\2de < ф, Eun(0 , Ca(A)^ >= 4J о
(cos(e/2))2de < ф , Eun(0 , Ca(A)^ > . (4.240)
0
Заметим, что правая часть (4.239), вообще говоря, не дифференцируема по а. Однако если
01,02 Є [є, 2п - є] , t> 0, то в силу равенства (4.239):
< ф , (Eun(02, Ca(A)) - Eun(01, Ca(A)^ >= (sin(e/2))-2(1 + o(1)) < ф , (Eun(02, Ca(A)) - Eun(ex, Ca(A)^ >,
362
где
o(1) — 0 , I91 - 02I— 0 ,0 Є [01,02] C [є, 2п - є] ,є> 0.
Вспоминая определение интеграла Римана-Стильтьеса (см, стр. 57), мы получаем:
р2п-с
\\AtP\\2 = lim (cos(0/2))2do < ф , Eun(0 , Са(Ж))ф >=
C—0J C r-2n-c
lim (ctg(0/2))2de < ф , EUn(0 , Са(Ж))ф > .
C—0J C
Существование предела следует из того факта, что правая часть выписанного равенства ораничена сверху и не убывает как функция є.
Мы доказали, что если ф принадлежит области определеня оператора
A
ф
A
Пусть
Фп = (EUn(2n - 1/n , Ca(A)) - Eun(1/n , Са(Л)))ф.
Тогда
