Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Имеем:
V(x Є Dom(A2), y Є Dom(A2)) : <x, >2=< x , UA1U-1y >2= < U-1x , A1U-1y >1=< A1U-1x , U-1y >1=< A2x , y >2 .
A2
CTи определения. Из этой же выкладки и самосопряженности оператора A1
y —< x , A2y >
продолжается до непрерывного функционала в том и только том случае, если
U-1x Є Dom(A1),
т.е.
x Є U(Dom(A1)) = Dom(A2),
A2
336
Лемма 4.7.4. Если
A с B,
то
B* с A*.
Доказательство. Пусть
x Є Dom(B*) , y Є Dom(A).
Тогда
< x , Ay >=< x , By >=< B*x , y > .
Следовательно,
x Є Dom(A*) , B*x = A*x.
Лемма доказана. Лемма 4.7.5. Если
A = A , A с B , B с B ,
то
A = B.
Доказательство. Имеем:
A с B , поэтому B* с A* = A с B.
Следовательно,
B = B = A.
Лемма доказана.
A
его симметричное расширение совпадает с ним, т.е. среди симметричных операторов самосопряженный оператор есть симметричный оператор с максимальной областью определения.
Напомним, что линейный оператор A-1 определен в том и только в том случае, если Ker(A) = 0, и в этом случае по определению оператор A-1 есть оператор с графиком
Gr(A-1) = {Ax ф x | x Є Dom(A)}.
Лемма 4.7.6. Если
Ker(A) = 0 , Cl(Im(A)) = H,
337
(A-1) = (A )-1.
то
A-1
(A-1)
и [сеч !',усі. Далее имеем:
Gr(A-1) = {Ax ф x I x Є Dom(A)},
V(Gr(A-1)) = {(-x) ф Ax I x Є Dom(A)},
V (Gr(A-1 ))± =
{y ф z I - <y , x > + < z , Ax >= 0 , x Є Dom(A)}, V(Gr(A-1 ))± = {A*z ф z I z Є Dom(A*)}.
Сравнивая поседнее равенство с (4,182) мы получаем:
Gr((A )-1) = Gr((A-1) )).
Лемма доказана. Лемма 4.7.7. Если
A = A* , Ker(A) = 0,
то
Cl(Im(A)) = H.
Доказательство. Пусть
y ± Cl(Im(A)).
Тогда
\/(x Є Dom(A)) : < y , Ax >= 0.
Следовательно,
y Є Dom(A*), A*y = Ay = 0 ,y Є Ker(A).
Из второго условия леммы следует, что
y = 0.
Лемма доказана.
A
A=A
A-1 A-1
(A-1) = A-1.
338
Доказательство. Имеем:
a. (3A-1) = (Ker(A) = 0),
b. ((A = A*) A (Ker(A) = 0)) = (Cl(Im(A)) = H),
c. ((Ker(A) = 0) A (Cl(Im(A)) = H)) = ((A-1)* = (A*)-1),
d. ((A-1)* = (A*)-1) A (A = A*)) = ((A-1 )* = (A-1)).
Здесь: a b c d
Лемма доказана. Лемма 4.7.9. Если
A с A* , Cl(Im(A)) = H,
то
Ker(A) = 0.
Доказательство. Пусть
y Є Ker(A).
Тогда из первого условия леммы следует, что
W(x Є Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >= 0.
y
0.
Лемма доказана.
Лемма 4.7.10. Если
A с A* , Im(A) = H,
то
A = A* , A-1 Є L(H —
H).
339
Доказательство. Из леммы 4.7.9 следует, что Ker(A) = 0, поэтому оператор A-1 существует. Докажем, что оператор A-1 симметричен. x , y Dom(A ) = H
ют такие элементы w , z, что x = Aw , y = Az. Поэтому
< x , A-1y >=< Aw , z >=< w , Az >=< A-1x , y > . A-1
A-1
A-1
ем:
A* = ((A-1)-1)* = ((A-1)*)-1 = ((A-1)-1 = A.
Лемма доказана.
A
Ker(A ± iid) = 0.
A
венство
//(x Є Dom(A)): \\(A ± iid)x\\2 = \\Ax\\2 + \\x\\2, (4.189)
откуда и следует утверждение леммы.
Лемма 4.7.12. Ker(A* ± iid) = 0 в том и только том, случае, если Cl(Im(A T iid)) = H.
+
y ± Cl(Im(A - iid)).
Тогда
//(x Є Dom(A)) : <y, (A - iid)x >= 0.
Следовательно,
y Є Dom(A* + iid), (A* + iid)y = 0 ,y Є Ker(A* + iid).
Поэтому из условия
Ker(A* + iid) = 0
следует равенство
Cl(Im(A - iid)) = H.
340
Пусть
y Є Ker(A* + iid) ,y = 0.
Тогда
V(x Є Dom(A))
< (A* + iid)y , x >=< y , (A - iid)x >= 0
и
y L Cl(Im(A - iid)).
Следовательно,
Cl(Im(A - iid)) = H.
Лемма доказана.
A
ства Im(A ± iid) замкнуты. Если оператор A симметричен и хотя бы одно из множеств Im(A ± iid) замкнуто, то оператор A замкнут.
+
оператор
Из (4.189) следует, что Ker(T) = 0, поэтому оператор T-1 существует. Из (4.189) следует, что оператор T изометричен, поэтому множества Gr(A) , Im(A + iid) замкнуты или нет одновременно. Рассуждения для -
Следующая теорема иногда называется основным критерием самосопряженности.
A
ния и симметричен:
T : Gr(A) — Im(A + iid) , T(x ф Ax) = (A + iid)x.
Ясно, что
Im(T) = Im(A + iid).
Cl(Dom(A)) = H , A С A .
Тогда
A
A=A
A
Ker(A* ± iid) = 0.
(4.190)
341
A
ведливы, равенства
Im(A ± iid) = H (4.191)
и резольвенты, R(±i, A) существуют.
3. Если Im(A ± iid) = H, то оператор A самосопряжен.
Доказательство.
1 == 2. Самосопряженный оператор замкнут, а равенство (4.190) есть следствие равенства (4.189).
2 ;• 3. Из леммы 4.7.12 следует, что
Cl(Im(A ± iid)) = H.
Замкнутость оператора A означает замкнутость множества Gr(A), поэтому множество Im(A ± iid) замкнуто на основе леммы 4.7.13 и
Cl(Im(A ± iid)) = Im(A ± iid) = H.
Так как
Ker(A ± iid) = 0,
то множество
{(A ± iid)x Є x | x Є Dom(A)}
есть график оператора, что эквивалентно существованию резольвент.
3 ;• 1. Проведем рассуждения для знака +. Пусть
x Є Dom(A*).
Тогда из условия (4.191) следует, что
3(y Є Dom(A) с DomA*) : (A + iid)y = (A* + iid)x
Поэтому
(A* + iid)(x - y) = 0. Согласно лемме 4.7.12 из условия Im(A — iid) = H следует,что Ker(A* +
iid) = 0
Следовательно,
(x — y = 0) = (x Є Dom(A)) = (Dom(A*) = Dom(A)).
342
Теорема доказана.
Замечание 4,7.1. Так как mathbfKer(A±iid) = 0, то условие 3 эвивалент-но существованию операторов (A ± iid)-1, область опрделения которых удовлетворяет условию: Dom(A ± iid)-1 = H.. Для проверки условия 3 достаточно доказать, что
