Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
то он представим, в виде
Pm(exp(iO)) = Q(exp(i9))* • Q(exp(iO)) ,Q Є A. (4.157)
Доказательство. Пусть функция F(z), z Є C1 определена из условия: F(z) = Pm(exp(iO)) , z = exp(iO), 0 < O < 2n.
F(z)
V(0 < \z\ < to) : F(z) = z-mp2m(z),
где p2m(z) -алгебраический полином степени 2m. Функция
F(z) = F ((l/z )*)*
аналитична в области 0 < \z\ < то.
Так как тригонометрический полином принимает действительные значения на единичном круге, то справедливо равенство
V(O Є [0 , 2п)) : F(exp(iO) = F(exp(iO)). (4.158)
327
Отсюда следует, что
F (z) = F(z).
Следовательно, если точка
z = «j
есть ноль полинома p2m(z), то точка
z = (1Ia1)*
также ноль полинома p2m(z). Если неравенство в (4,154) строгое, то отсюда следует что нули полинома p2m(z) не лежат на окру ж ности \z\ = 1 и
F(z) = z—mc П ((z - «j)(z - (1/a3)*)) = F Д ((z - «j )(z—1 - a**))
1<j<m 1<j<m
(4.159)
Fc
доказывает лемму в случае строго неравенства в (4.154). Общий случай получается очевидным предельным переходом.
Фиксируем унитарный оператор U. По унитарному оператору U построим отображение
Opu : A ^ L(H H)
согласно формуле
Opu( j] (акехр(гкв)+ ?kехр(-гкв)))= ( j] (акUk + ?kU—k)).
0<k<m 0<k<m
(4.160)
Opu A
гебру L(H ь H), который удовлетворяет условию:
Opu (/*) = Opu (/)*, (4.161)
/* / Opu(/)*
Opu(/)
Opu
моморфизм означает, что
Opu (а/1 + ?/2) = oOpu (/1) + ?Opu (/2), Opu(/1 • /2) = Opu(/1) • Opu (/2)
и проверяется прямым вычислением. Формула (4.161) есть следствие равенства
U—1 = U*.
328
Лемма 4.6.4. 1. Если Pm -тригонометрический полином,, то Opu(Pm) -самосопряженный оператор. Pm
V9 : Pm(exp(i#) > 0, то O'pu (Pm) -неотрицательный оператор:
V(0 Є И) : < ф , Opu(Pm)0 >> 0. (4.162)
з. Для любого тригонометрического полинома справедлива оценка
| < ф, Opu(Pm^ >< Slip{|Pm(exp(^))| | в Є [0 , 2тг]}||ф||2. (4.163)
Pm
делению он принимает действительные значения и первое утверждение
Pm
рицателен, то в силу леммы Фейера справедливо представление
Pm(exp(*e)) = Q(exp(^))* • Q(exp(^)) , Q Є A, и используя равенство (4.161) мы получаем:
< ф , Opu(Pm^ > = < ф, Opu(Q*Q^ > =
< ф, Opu(Q*)Opu(Q^ >=< ф, Opu(Q)*Opu(Q)ф >=
< Opu(Q^, Opu(Q)Ф» 0.
Третье утверждение леммы есть очевидное следствие второго. Лемма доказана.
ф Є И
ческих полиномов {Pm} линейный функционал I0 (ф | •) определяется равенством
І0(ф | •) : Pm(exp(^e)) — І0(ф | Pm) =< ф , Opu(Pm)Ф > . (4.164)
Лемма 4.6.5. Определенный, формулой, (4.164) линейный, функционал, I0 (ф | •) по непрерывности продолжается, па, пространство C([0, 2п])
и, продолжение (мы обозначаем его тем же символом) функционала I0 (ф | •) удовлетворяет оценкам:
1.(f (в) Є C([0 , 2п]) , f (в) > 0) => (І0(ф | f) > 0). (4.165)
2. V(f (в) Є C([0 , 2п])) :
110(|ф | f)| < sup{|f (в)| | в Є [0 , 2тг]}||ф||2. (4.166)
329
Доказательство. Если f є C([0, 2тг]), то по теореме Вейрштрасса существует такая последовательность тригонометрических многочленов
[Pm(U)}, что
lim sup[\f (в) - Pm(n)(exp(i0))\ \ в Є [0 , 2п} = 0. (4.167)
n—oo
Определение 4.6.2. На пространстве C([0, 2п]) функционал І0(ф \ •) определяется равенством
Іо(ф \ f) := lim <ф, Ор(Рт(п))ф >, (4.168)
n—o
если последовательность Pm(n) удовлетворяет условию (4.167).
В силу оценки (4.163) это определение корректно и определенный равенством (4.168) функционал І0(ф \ •) есть продолжение по непрерывности функционала (4.164). Если
У(в Є [0 , 2п]): f (в) > 0,
то мы можем выбрать последовательность многочленов в (4.167) так, что будет выполнено неравенство
У(н> 0 ,в Є [0, 2п]) : Pm(n)(exp(ie)) > 0,
а отсюда следует неравенство (4.165). Второе утверждение леммы есть очевидное следствие первого. Лемма доказана.
Наши дальнейшие расуждения полностью совпадают с теми, которые были проведены для случая самосопряженных операторов. Рассмотрим пространство C([0, 2п]) как пространство элементарных функций при построении интеграла Даниэля, а функционал I0(ф \ •) как элементарный интеграл.
Определение 4.6.3. Пусть I(ф \ •) -расширение по Даниэлю элементарного интеграла І0(ф \ •) ,а (і(ф \ de) -мера та отрезке [0 , 2тг], порожденная І(ф \ •)
Пространство интегрируемых по мере іі(ф \ de) функций содержит алгебру Bor([0 , 2п]) всех ограниченных измеримых по Борелю функций на отрезке [0 , 2п]. Фиксируем действительную функцию f Є Bor([0 , 2п]) и пусть , ф \ f) -билинейная форма, которая в силу поляризационного тождества соответствует квадратичной форме ф — I(ф \ f).
Ниже мы построим отображение
Opu : Bor([0 , 2п]) — L(H — H), (4.169)
которое служит продолжением отображения (4.160).
330
Определение 4.6.4. Если f Є Bor([0, 2п]), то оператор Opu(f) -это оператор, который определяется билинейной формой B^, ф \ f):
Є Н,ф Є H): <ф, Opu(f)ф >= ,ф \ f). (4.170)
На комплекснозначные функции f Є Bor([0, 2п]) определение 4.6.4 распространяется по линейности. Очевидна
Теорема 4.6.1. 1. Отображение OpU есть гомоморфизм алгебры, Bor([0 , 2тг]) в алгебру L(H — H), который удовлетворяет условию:
Opu (f *) = Opu (f )*, (4.171)
где f * -функция, комплексно сопряженыая, функции f, Op(f )* -оператор,
