Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
F
ностей точки ^(а) | а Є I}. Для этого нам достаточно доказать, что для некоторой локальной базы окрестностей точки ^(а) | а Є I} Є K каждый элемент базы содержится в фильтре F. Пусть ^(а) | а Є I} Є A ,
A =( П °(аШ)) X (П K?] ,? = а(і) , 1 < j < N , (2.76)
где 0(а(;)) Э )) -открытые в Ka j .множеп г,а. Множество A есть
элемент локальной базы тихоновской топологии, который содержит точку ^(а) | а Є I}. Так как ультраф ильтр Fa(j) сходится к то чке x^j')) Є 0(а(;)), то каждое открытое множество 0(а(;)) содержит некоторый элемент базы фильтра Fa(j), поэтому
3Aj : Aj = P(а(7))(Bj) ,Bj Є F.
Множество
, ? = а(/), 1 < j < N (2.77)
F
вечному числу индексов -и именно в этом месте существенно использу-
A
B с A,
поэтому ультрафильтр F мажорирует фильтр окрестностей точки ^(а) | а Є I} Є K, т.е. сходится к этой точке. Теорема доказана.
145
2.5 Коментарии и литературные указания.
В этой главе мы существенно использовали понятие эквивалентности и аксиому выбора Хаусдорфа. Напомним соответствующие определения и некоторые сведения из теории множеств,
A
ченных пар элементов множества A Если пара а Є A , b Є A (а -первый элемент, b -второй) принадлежит рассматриваемому множеству пар, то мы будем говорит, что между а и b установлено бинарное соотношение R и будем писать аДЬ.
Бинарное соотношение R называется рефлексивным, если
Уа : аДа.
R
(аДЬ Л bRc) == (аДс).
R
^Rb) == (bRа).
Бинарное соотношение R называется антисимметричным,, если
^Rb Л bRa) == (а = b).
A
жем, что круг а находится в соотношении R с кругом b, если эти круги пересекаются. Это бинарное соотношение будет рефлексивным и симметричным, но не будет транзитивным и антисимметричным. Скажем, что а b R а
b
ричным.
Рефлексивное, транзитивное и симметричное бинарное сотношение называется соотношением эквивалентности и обозначается так: а ~ Ь.
Рефлексивное, транзитивное и антисимметричное бинарное сотношение называется частичной, упорядоченностью и обозначается так: а < b (или а ^ by Если справедливо соотношение а < b, то говорят, что а содержится в b. в множестве с частичной упорядочностью элемент а
а < b а = b
Элемент а Є A частично упорядоченного множества называется мак-
В
V(b Є В) : b < а.
146
Подмножество B частично упорядоченного множества называется цепью, если справедливо утверждение:
V(a є B,b є B) == ((а < b) V (b < а)).
Следующие два утверждения эквивалентны и являются двумя (существуют и другие) эквивалентными формулировками аксиомы выбора.
Утверждение 2.5.1. Если всякая цепь частично упорядоченного множества обладает верхней, гранью, то любой, элемент множества содержится в некотором максимальном элементе.
Эта форма аксиомы выбора называется леммой (теоремой) Куратовского-Цорна.
Утверждение 2.5.2. Пусть I -произвольное множество индексов и XT -такая система подмножеств множества M, что
V(r є I) : Xt = 0 , У(а = ?) : X« f| = 0.
I
х(т) : I Э т — х(т) є Xt,
или, эквивалентно:
3(Mo С M) , Vt : Mo Q XT = х(т).
Типичный пример применения аксиомы выбора -рассуждения по принципу "транфинитной индукции" (см. стр. 171, конец доказательства теоремы Хана-Банаха). Аксиома выбора часто используется по умолчанию (например, при рассмотрении декартова произведения множеств), и мы тоже не все да будем фиксировать внимание на ее использовании.
Упомянутые в главе 2 элементарные сведения о метрических пространствах являются естественным обобщением тех представлений, которые можно получить при рассмотрении рисунков на листе бумаги, однако не все так просто, и геометрическая интуиция в теории метрических пространств не должна вводить читателя в заблуждение. Мы позволим себе привести цитату из сочинения Н. Бурбаки [12], стр. 34:
"...замыкание открытого шара может отличаться от замкнутого шара с тем же ценром и радиусом, граница замкнутого шара может отличаться от сферы с тем же центром и радиусом, открытый (или замкнутый) шар может не быть связным, а сфера может быть пустым множеством."
147
Соответствующие примеры читатель может наийти в упражнениях в цитированной выше книге.
Классичеким руководством по элементарной теории метрических и топологических пространств являются книги [1] , [2]. Учебник [15] является стандартным источником ссылок для аналитиков. Для углубленного изучения общей топологии можно рекомендовать книгу [14]. Краткое и ясное изложение основных понятий общей топологии есть в книге [13].
148
Банаховы пространства.
3.1 Основные определения.
В дальнейшем по умолчанию все линейные пространства мы будем рассматривать над полем комплексных чисел и будем специально отмечать случай, когда линейное пространство рассматривается над полем действительных чисел.
Определение 3.1.1. Заданная на линейном пространстве L функция
Il • Il : R+
называется нормой, если эта функция принимает неотрицательные значения:
V(x Є L) : ||x|| > 0,
невырождена:
(||x|| =0) (x = 0),
удовлетворяет неравенству треугольника:
V(x Є L , y Є L) : ||x + y|| < ||x|| + ||y||,
и однородна:
V(A Є C1, x Є L) : ||Ax|| = IAiHxH.
