Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Xp0(x) = Xp(x) , Xpn+1(x) = Xpn(x) - fn(x) ,
sup Ippn+1(x)I < 2 sup Ippn(x)I/3 , x Є A,
fn(x) = Xpn(x) - Xpn+1(x) , Ifn(x)I < SUp IXpn(x)I/3 , x Є X.
Функция
f(x) = fn(x)
0<n<oo
есть искомое продолжение функции Xp(x).
2.3 Компактные пространства.
Определение 2.3.1. Система P = {Aa I а Є I} открытых подмножеств топологического пространства называется открытым покрытием множе-A
A C (J Aa.
125
Определение 2.3.2. Открытое покрытие P' = {Aa | а Є / С /} множества A называется подпокрытием покрытия P = {Aa | а Є /}, если P' С P, т.е. если каждое множество, входящее в покрытие P', входит и P
Определение 2.3.3. Топологическое пространство K называется компактным топологическим пространством (или компактом), если любое открытое покрытие {Aa | а Є /} проетранетва K содержит состоящее из конечного числа множеств подпокрытие, т.е. состоящую из конечного числа множеств подсистему {Aa(j) | 1 < j < N < то} С {Aa | а Є /},
K
A С X
(X , T) называется компактом в X, если оно есть компактное топологическое пространство в индуцированной топологии, т.е. если пространство (A , TA) компактно.
A С X
(X , T) называется предкомпак тным в Л. если замы к; шпе Clx (A) есть X
Условие (2.3.3) называется условием Бореля-Лебега. В работах Н. Бурбаки и их последователей компактами называются хаусдорфовы пространства, которые удовлетворяют условию Бореля-Лебега. Заметим, что примерно до середины 80-х годов в математической литературе на рус-ком языке компактные пространства назывались бикомпактами, а компактами назывались те пространства, которые теперь называются секвенциально компактыми.
Применение формул де Моргана к (2.3.3) дает следующие эквивалентные определению 2.3.3 условия компактности.
K
только том случае, если в любой, его системе замкнутых множеств с пустым пересечением содержится состоящая из конечного числа множеств подсистема с пустым пересечением.
Ясно, что это условие эквивалентно следующему.
K
чае, если в нем из условия, что любая, конечная, подсистема
{Fa(j) | 1 < j < N < то , а(?) Є /} С {F« | а Є /}
системы {Fa | а Є /} замкнутых множеств имеет непустое пересечения следует, что и вся система {Fa | а Є /} имеет непустое пересечение.
126
K
ривается как топологичесое пространство и речь идет об открытых или
K
K
логического пространства (X , T), то K -компакт.
KX KX
следует из 2,3.2,
Приведем другое доказательство этого факта, которое опирается только на определение компактности с помощью открытых множеств. Пусть {Aa | а Є /} -открытое покрытие множества K, Тогда Aa = Va P K, где множества {Va | а Є /} открыты в X, и система множеств {C(K), Aa | а Є /} есть открытое покрытие множества X, Следовательно, некоторая конечная система {C(K), Va (j) | 1 < j < N < то} есть открытое покры-X
KK
K
X K X
Доказательство.Если K = X, то K замкнуто. Пусть C(K) = 0. Докажем, что C(K) открыто. Пусть y Є C(K), x Є K, Так как пространство X хауедорфово, то у точек x , y существуют непрерсекающиеся открытые окрестности
V(x) э x , U(y) э y , V(x) f| U(y) = 0. (2.48)
Система открытых в K множеетв {K f] V(x) | x Є K} есть открытое покрытие множества K, поэтому существует состоящая из конечного числа множеств подсистема этой системы {KC] V(xj) | 1 < j < N < то}, которая есть покрытие множества K, Пусть Uj (y) -та открытая окрестность точки y, которая удовлетворяет условию (2,48) для окрестности V(xj), и пусть Uo (y) = P Uj (y). Так как индексов j только конечное число,
1<j<N
то окрестность U0 (y) открыта и удовлетворяет условию U0 (y) С C(K). Лемма доказана.
Теорема 2.3.1. Непрерывный образ компактного пространства есть компакт.
Доказательство. Пусть
127
f: K — Y
-непрерывное отображение компактного пространства K в топологическое пространство Y и
/ (K) С (J Va , Va є T
a
-открытое покрытие образа компакта K при отображении /. Тогда
K С (J /-1(Va)
a
и из открытого покрытия компакта K множествами /-1(Va) можно выбрать конечное подпокрытие:
K С U /-1(Va(j)). 1<j<N
Следовательно,
/ (K) С (J Va(j),
1<j<N
/(K)
Докажем теорему Дини,
Теорема 2.3.2. Пусть /п -последовательность непрерывных функций K
/п : K ^ R1.
Предположим, что выполнены, условия:
V(x Є K , n) : 0 < /n+1(x) < /n(x), (2.49)
lim /n(x) = 0. (2.50)
n—oo
Тогда,
lim sup{/n(x) | ж Є K} = 0. (2.51)
n—oo
Доказательство. Фиксируем произвольно б > 0 и рассмотрим множества
Fn = {ж | /п(ж) > б}.
В силу непрерывности функций /n(x) множеет ва Fn замкнуты, а так как в силу (2.49) последовательность /n(x) монотонно невозрастает, то
Fn+1 С Fn.
128
Из (2,50) следует, что
n
Так как множество K компакт, то из (2,52) и условия 2,3.1 следует, что существует такое п(б), что Fn(e) = 0, а это означает, что
Теорема доказана.
Приведем критерии компактности множества в метрическом пространстве.
Сначала дадим
Определение 2.3.6. Множество K в метрическом пространстве M свер-хограничено, если каково бы ни было б > 0, найдется такое конечное число шаров {b(xj ,б) | 1 < j < N < сю}, что множее тво K содержится в объединении этих шаров:
