Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим пример. Пусть D -ограниченная замкнутая область в пространстве Rd. Напомним, что в силу теоремы 1.2.10 (см. стр. 83) при 1 < p < то .между пропранетвами Lq(D) , q = — 1), и Lp(D)* можно установить взаимно однозначное соответствие
J : L(D) — Lp(D)*,
при котором функции g Є Lq (D) ставится в соответсвие функционал J(g) Є Lp(D)*, действующий по правилу:
V(0 Є Lp(D)) : J(g)(0) = jg(x)0(x)dx. (3.53)
D
В теореме 1.2.10 доказывается, что любой функционал из Lp(D)* можно задать с помощью этой формулы и
||J(g) | Lp(D)*|| = ||g | Lq(D)|,
поэтому пространства Lp(D)* и Lq (D) иногда отождествляются.
173
Теорема 3.4.1. Пусть Во замкнутое линейное подпространство банахова пространства В , yo Є Во,
dist(yo , Во) = inf{||yo — x|| | x Є Во} = d > 0.
Тогда существует такой линейный непрерывный функционал f Є В*, что
f (Во) = 0 , f (yo) = 1 , ||f | В*|| = 1/d. (3.54)
Lo
прямая сумма линейного пространства Во и пространства, натянутого yo
Lo = Во 0 {Ауо} ,А Є Сі.
Так как уо Є Во, то это определение корректно.
Lo f
V(x Є Во): f (x + Ауо) = А. (3.55)
Определенный равенством (3.55) функционал удовлетворяет условиям:
f (Во) = 0 , f (yo) = 1.
Lo
странство банахова пространства В и вычислим норму функционала f в пространстве Имеем:
V(x Є Во) : ||x + Ауо | Lo|| = ||x + Ауо | В|| = |A|H(1/A)x + yo | В|| > |A|d = |f(x + Ayo)|d.
Отсюда следует, что
V(x Є Lo) : |f (x)| < d||x|, поэтому ||f | L*|| < 1. (3.56)
{ xn} С Lo
| yo — xn| — d , n — о.
Тогда
1 = |f (yo — xn)| < ||f | L$||||yo — xj — ||f | Lo|d.
Следовательно,
174
Сравнивая это неравенство с неравенством (3.56), мы получаем равенство
Теперь воспользуемся теоремой Хана-Банаха и распространим функционал f на все пространство Б, Теорема доказана.
Теорема 3.4.2. Для, любого элемента ж банахова пространства Б существует такой функционал fx є Б*, что
||fx | Б*I = 1 ,fx(x) = ||х||. (3.57)
Доказательство. Если ж = 0, то доказывать нечего. Пусть ж = 0. Применим предыдущую теорему к подпространству Б,, = 0 и элементу yo = ж. Пусть f -функционал, который удовлетворяет условию
f(х) = 1 , |fII = 1/||х||.
Тогда функционал
V(y є Б) : fx(y) = ||x||f (у)
-искомый.
Из определения нормы функционала (3.52) и теоремы 3.4.2 вытекает
Следствие 3.4.1. Справедливо равенство
||х | Б|| = sup{|f (х)| | Hf | Б*||< 1}. (3.58)
В дальнейшем нам будет удобно использовать обозначение
V(f є Б* , ж є Б) : < f | ж >= f (ж). (3.59)
Пусть Б1 и Б2 -банаховы пространства и
в: Б1 X Б2 — C1 (3.60)
-линейная по каждому аргументу функция. Такая функция называется билинейной формой.
Б1
Б2
Б1 Б2
V(y є Б2): в(х,у) = 0
175
следует, что
x = 0,
а из равенства
V(x Є B1) : 0(x, y) = 0
следует, что
У = 0.
Из (3.52) и (3.58) следует, что билинейная форма < f | x > ставит пространства B* и Bb отделимую двойственность, причем справедливы равенства
||f | B*|| = sup{| < f | x > | | ||x | B|| < 1}, (3.61)
||x | B|| = sup{| < f | x > | | ||f | B*|| < 1}. (3.62)
Теорема 3.4.3. Пусть
T: B1 — B2
B1
B2
||T |L(B1 — B2)| =
sup{| < f | T(x) > | | ||f | B*|| < 1 , ||x | B1^ < 1}. (3.63)
Доказательство. Следует из равенств
||T(x) | B2| = sup{| < f | T(x) > | | ||f | B*|| < 1}, ||T | L(B1 — B2)| = sup{||T(x) | B2| | ||x | BJ < 1}.
Теорема 3.4.4. Если {xa | а Є I} -такое подмножество в банаховом, B
V(f Є B*) : sup{|f (xa)| | а Є I} < то,
то
sup{||xa|| | а Є I} < то. Доказательство. Определим отображения
Ta: B* — C1
по формуле
Ta(f) =< f | xQ > .
176
Из теоремы Банаха-Штейнгауза (ем, стр. 160, теорема 3.3.2) следует, что
sup{|Ta||a Є I} < то. Но в силу равенства (3.62)
||T«|| = SUp{| < f | Xa > | | Hf | B*|| < 1} = ||жа|,
что и доказывает нашу теорему.
Теорема 3.4.5. Пусть {Ta | а Є I} С L(B1 — B2) -семейство линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2. Следующие условия эвивалентны:
1. sup{||Ta | L(B1 — B2)|| | а Є I} < то. (3.64)
2. V(x Є Bi) : sup{||Ta(x) | B2|| | а Є I} < то. (3.65)
3. V(x Є B1, f Є B*) : sup{| < f | Ta(x) > |а Є I} < то. (3.66)
Доказательство. Ясно, что из (3.64) следует (3.65), а из (3.65) следует (3.66). В силу теоремы 3.4.4 из (3.66) следует, что
V(x Є B1) : sup{||Ta(x)|| | а Є I} < то,
поэтому из (3.66) следует (3.65). Неравенство (3.64) следует из (3.65) в силу теоремы Банаха-Штейнгауза. Теорема доказана.
Говорят, что последовательность операторов Tn Є L(B1 — B2) сходится к оператору T0 Є L(B1 — B2):
в равномерной операторной топологии, если
||Tn - To |L(B1 — B2)|| — 0 , n — то,
в сильной операторной топологии, если
V(x Є B1) : ||Tnx — T0x | B21| — 0 , n — то,
в слабой операторной топологии, если
V(x Є B1 , f Є B*) : f (Tn(x)) — f (To(x)) , n — то.
Из теоремы 3.4.5 следует, что из сходимости последовательности опе-Tn n
Tn
177
Пусть В -банахово пространство и В* -его сопряженное. Фиксируем x В.
f —< f | x > (3.67)
задает линейный непрерывный функционал на пространстве В*. Обозначим этот функционал символом J(x), а множество всех линейных непре-
В* В**
J: В — В** ,J(x)(f)=<f | x>. (3.68)
