Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть
-семейство не обязательно линейных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2. Следующее утверждение обычно называется принципом равномерной ограниченности.
Теорема 3.3.1. Предположим, что выполнены, следующие условия.
1. Каждое отображение Fa непрерывно.
2. Выполнены неравенства:
Є I,x,y Є B1) : ||Fa(x + y)|| < ||Fa(x)H + ||Fa(y)||, (3.15)
x Є B1 Fa
а
Fa а
Fa : B1 — B2 , а Є I
Є I, Л Є R1 ,x Є B1) : HFa(Ax)H < |A|||Fa(x)||.
(3.16)
V(x Є B1) : sup{||Fa(x)|| | а Є I} = C(x) < то.
(3.17)
lim sup {H Fa (x) H
<5—>o
x|| < 8 , а Є I} = 0.
(3.18)
159
Доказательство. В силу непрервности отображения Fa при каждом а є I, n > 1 множество
{X | ||Fa(х)|| < П}
n > 1
Xn = f| {X | WF0(X)! < П}
замкнуто как пересечение замкнутых множеств. Из (3.17) следует, что
n
поэтому в силу теоремы Бэра о категориях (см. стр. 114) существует такой открытый шар Ь(х0 , б) и такое n, что
Ь(хо ,б) С Xn. (3.19)
Включение (3.19) означает, что
VG^H < б) : sup{||Fa(Xo + у)|| | а є I} < n.
Следовательно, в силу неравенства (3.15) справедлива оценка:
<б) : sup{WFa(y)W | а є I}< sup{WFa(Xo + у)|| | а є I} + sup{WFa(-Xo)W | а є I} < n + C (хо).
Но тогда из (3.16) следует, что
sup{WFa(х)W | ||х|| < 5 , а є I} < 5(n + C(х0))/б.
Теорема доказана.
Следующие две теоремы есть простое следствие принципа равномерной ограниченности и вместе эти теоремы называются теоремой Банаха-Штейнгауза.
Ta
B1 B2
V(X є B1) : sup{||Ta(x)|| | а є I}} = C(х) < то,
то
sup{||Ta|| | а є I} < то.
160
Доказательство. Применим теорему 3.3.1 к семейству отображений Fa = Ta. Получим, что
3(5 > 0) , V(||x|| < S) : sup{||Fa(x)|| | ||x|| < S , a Є I} < 1. Но тогда
sup{||Ta|| | a Є I} = sup{||Ta(x)|| | ||x|| < 1 , a Є I} < 1/5. Теорема доказана.
Теорема 3.3.3. Пусть Tn -последовательность линейных непрерывных
Ві В2
x Ві
V(x Є Ві), 3To(x) : lim Tn(x) = To(x). (3.20)
n—oo
Тогда, определенный, формулой (3.20) оператор T0 непрерывен. Доказательство. Из (3.20) следует, что
V(x Є Ві) : sup{||Tn(x)|| | 1 < n < то} < то. Ho тогда в силу теоремы 3.3.2
sup{| Tn| | 1 < n < о} < о,
и
V(x Є Ві) : ||To(x)|| < sup{||Tj | 1 < n < to}|x|.
To
Теорема доказана.
Следующая теорема есть простое следствие неравенства треугольника, но она тоже иногда называется теоремой Банаха-Штейнгауза.
Tn
Ві В2
удовлетворяет условию
sup{| Tn| | 1 < n < о} = C < о,
D Ві
Cl(D) = Ві, 161
и для каждого х є D существует предел:
V(x є D) , 3T0 (х) : T0 (х) = lim Tn(х).
n—oo
Тогда, предел, limn—00 Tn (х) существует для всех х є B1 и определенный формулой
To(х) = lim Tn(x) (3.22)
n—оо
оператор непрерывен.
Доказательство. Для каждого х є B1 и б > 0 найдем такое у(х, б) є
D
||х — у(х , б) || < 6/4C,
C
||Tn(x) — Tm(X) || < ||(Tn — Tm)y(x , б)W + ||(Tn — Tm)(X — у(х , б))W <
б/2+ ||(Tn — Tm)y(х,б)W.
Пусть n , m выбраны настолько большими, что
||(Tn — Tm)y(х,б)W <б/2.
Тогда из предыдущего неравенства следует, что для таких n , m будет выполнено неравенство
| Tn(X) — Tm(X)| < б.
Tn( X) X є B1
Ясно, что
||To(x)|| < sup{WTnW | 1 < n < то}WхW < C||хW.
Следовательно, оператор To ограничен и поэтому непрерывен. Теорема доказана. Рассмотрим
B
рывных на отрезке [0, 2п функціїй: / є B, если / непрерывна и
/ (0) = / (2п).
B
||f | BW =sup{|f (х)|| ж є [0, 2п]}. 162
Определим в пространстве B операторы Tn Є L(B — C1), положив
Tn(/) = ff + E (
V 1<k<n
ak cos kx + bk sin kx)
ic=o
где ak , bk -коэффициенты Фурье функции f по тригонометрической системе функций:
afc
1
п
2п
f (x) cos(kx)dx , bk
1
п
2п
f (x) sin(kx)dx.
Tn
ставление частной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле:
Tn(f)
1
2п
sin((n + 1/2)(t — x))
п Jo 2sin((t — x)/2)
f (t)dt)
Пусть
0 < m < 2n + 1, tm>n = nm/(n + 1/2), m = 0,...,
f (t) = ; Sign sin((n + 1/2)(t)) ^и |t — tm,n| > Є ,
линейна на участке It — tm
< Є
и непрерывна. Ясно, что
= 1,
|Tn | L(B — C1)| > sup{|Tnfn,e| || є > 0} =
2п
2п
sin((n + 1/2)t)
C1
sin(t/2) sin(t) |
dt >
/ ^ dt = * ? /
Jo 1 o<k<n-1Jn
п(к+1)
sin(t)|
dt
const.
1<k<(n-1)
const. ln n.
В выписанных выше неравенствах
C1 = min
o<t<n 2п sin(t/2)' const.
163
n
операторов Tn не ограничены в совокупности. Из теоремы 3.3.2 следует, что это может быть только в том случае, если существует такая функция /о Є B, что |Tn(/o)(0)| — то , n — то. Следовательно, существует такая непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расхо-x=0
доказывается для любой точки).
Доказанный нами результат -это теорема существования, и теорема Банаха-Штенгауза часто используется для этих целей.
3.3.2 Теорема об открытом отображении и ее следствия.
T
B1 B2
B1 B2
Заметим, что отображение может быть линейным и непрерывным, но не быть открытым. Примером линейного, непрерывного, но не открытого отображения является отображение, которое все пространство B1 B2
Определение 3.3.2. Образом (или областью значений) отображения
T: B1 — B2
называется множество
Im(T) = {y | y = T(x), x Є B1}. (3.23)
T
Range(T) = Im(T). (3.24)
