Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 42

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 110 >> Следующая

Следующее утверждение называется теоремой об открытом отображении или принципом открытости отображения.
Теорема 3.3.5. Если отображение
T Є L(B1 — B2)
B1 T
B2
Im(T) = B2,
164
T
Доказательству теоремы 3.3.5 мы предпошлем несколько лемм. В дальнейшем шар в пространстве В.- мы будем помечать тем же индексом:
bi( , ) С Вг.
Лемма 3.3.1. Если выполнены, условия теоремы, 3.3.5, то замыкание образа любого шара с центром в нуле содержит открытый шар с центром в нуле:
V(e > 0) , 3 5(є): 62(0 , 5(є)) С Cl(T(6і(0 , є))). (3.26)
Доказательство. Из условия (3.25) следует, что
В2 = U Cl(T(6і(0 ,n)). (3.27)
n
Из (3.27) и теоремы Бэра о категориях (см. стр. 114)следует, что
3(n , yo Є В2 , r > 0) : 62 (yo , r) С Cl(T(6і(0 , n))). (3.28)
Теперь заметим, что из включения
y Є Cl(T(6і(0 ,n)))
следует включение
—y Є Cl(T(6і(0 ,n))),
а из включений
Уі Є Cl(T(6і(0 ,n))) ,y2 Є Cl(T(6і(0 ,n)))
следует включение
V(0 < a < 1) : ауі + (1 — a)y2 Є Cl(T(6і(0 , n)))
Поэтому из (3.28) следует, что
M = {у | у = (2a — 1)z , z Є b2(yo , r) , 0 < a < 1} С Cl(T(6і(0 , n)))
(3.29)
Так как шар 62(yo , r) открыт, множество M открыто и содержит точку 0
3(є > 0) : 62(0 , є) С M С Cl(T(6і(0 , n))).
Следовательно,
V(A > 0) : 62(0 , Ає) С Cl(T(6і(0 , An))). 165
Положив в этом включении
Л = б/n,
мы получим включение (3.26) е
5(б) = 62/п.
Лемма доказана.
б
(б)
62(0 , 5(б)) С T(61(0 , 3б)). (3.30)
Доказательство. Пусть
б1 = б , 6п = 2_(п_1)6(п-1).
Мы будем считать, что выбранная в соответствии с (3.26) последовательность 5(6п) удовлетворяет условию:
5(6(п+1)) < 25(6п).
Фиксируем произвольно
у є 62(0 ,5(б1)).
Нам нужно доказать, что
3(х є 61(0 , 3б)) : у = T(х). Из леммы 3.3.1 следует, что
62(y, 25^))Q T(61(0 ,б1)) = 0,
и поэтому существует такое X1 є 61(0 , б1), что
||у — T(Ж1)|| < 25(б2).
Следовательно,
(у — T(X1)) є 62(0 ,5(б2)),
166
и существует такое x2 Є 61 (0, є2) что
||y - T(x1) - T(x2)|| < 25(ез).
{ x n}
что
||xn| < Єп , ||y - T(x1 + x2 + ... + xn)|| < 2?(є(п+1)) — 0 , П — TO. (3.31)
Положим
x = xn.
n
Из (3.31) следует, что
y = T(x) , ||x|| < є(1 + 1/2 + ...) < 3є.
Лемма доказана.
Переходим к доказательству теоремы.
Пусть A -открытое в пространстве B1 множеет во, xo Є A и
yo = T(xo).
Так как A -открыто, то существует такой шар 61 (0 ,є) С B1, что
xo + 61(0 , є) = 61 (xo , є) С A.
В силу леммы 3.3.2 существует такой шар 62(0 , #(є)) С B2, что 62(0 , #(є)) С T(6(0 , є)). Поэтому
yo + 62(0 , ?(є)) = 62(yo , ?(є)) С T(xo + 61(0 , є)) С T(A).
T( A)
некоторый открытый шар с центром в этой точке и поэтому множество T(A)
Выведем некоторые следствия из доказанной теоремы. Пусть
T: B1 — B2 (3.32)
Im(T) = B2.
Определение 3.3.3. Отображение
T-1: B2 — B1 T
V(x Є B1) : T-1(T(x)) = x , V(y Є B2) : T(T-1(y)) = y.
167
Замечание. Сейчас мы рассматриваем только такие отображения, область определения которых совпадает со всем пространством,. Позже мы будем рассматривать отображения, область определения которых является лишь линейным подмногообразием в банаховом пространстве, и для таких отображений будет дано свое определение обратного отображения.
Для существования обратного отображения необходимо и достаточ-
B1 T
B2
B2 T
(T(x1) = T(x2)) == (x1 = x2).
T
ровать в виде:
(T(x1 — x2) = 0) = (x1 — x2 = 0).
T
жество
Ker(T) = {x | T(x) = 0}. (3.33)
Итак, необходимое и достаточное условие существования обратного к линейному (не обязательно непрерывному) отображению (3.32) состоит в следующем:
Im(T) = B2 , Ker(T) = 0. (3.34)
Отображения, удовлетворяющие первому из условий (3.34), называются сюръективными отображениями. Отображения, удовлетворяющие второму условию (3.34), называются инъективными отображениями.
Следующая теорема называется теоремой Банаха об обратном отображении.
T
ям, (3.34) и непрерывно, то обратное отображение непрерывно.
Доказательство. Пусть A -открытое множество в пространстве B1. Тогда в силу теоремы об открытом отображении множество
(T-1)-1(A) = T(A)
T-1
T-1
непрерывно (см. стр. 117). Теорема доказана.
Еще одно следствие теоремы об открытом отображении -теорема о замкнутом графике.
168
Определение 3.3.5. Графиком линейного отображения
T: Ві — В2 (3.35)
называется множество
Gr(T) = {x 0 T(x) | x Є Ві} С Ві Є В2. (3.36)
График линейного отображения есть линейное подмногообразие прямой суммы области определения и области значений. Обратное отображение -это оператор с графиком
Gr(T-і) = {Tx 0 x | x Є Ві} С В2 0 Ві.
Если отображение непрерывно, то график отображения есть замкнутое подпространство этой прямой суммы. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение. Следующая теорема называется теоремой о замкнутом графике.
Теорема 3.3.7. Если график линейного отображения (3.35) замкнут, T
Доказательство. Если подмножество Gr(T) С Ві 0 В2 замкнуто, то Gr(T)
ства Ві 0 В2. Отображение
Pr і : x 0 T(x) — x (3.37)
Gr(T)
на пространство Ві; причем іш(Ргі) = Ві , Кєг(Ргі) = 0. В силу теоремы Банаха об обратном отображении отображение
Ві — Gr(T): x — x 0 T(x)
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed