Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 37

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 110 >> Следующая

V(a Є I) : F У Fa. (2.70)
Доказательство. Положим
F =U Fa. (2.71)
F
есть фильтр. Ясно, что 0 Є F. Пусть A Є F ,B Є F. Тогда A Є Fa1 и B Є
141
Fa2. Допусти м, что Fa2 У Fa1. Тогда A Є Fa2, следователь но, Ap В Є Fa2 и поэтому A Г] В Є F. Аналогично доказывается, что если A Є F и A С B B F
Заметим, что если два фильтра не сравнимы, то их объединение может не быть фильтром. В примере 2.4.1 объединение фильтров F1 и F3 не есть фильтр, так как [а] Р[6] = 0.
F
содержится ни в каком другом фильтре, т.е. если из Fa У F следует, что
В примере 2.4.1 фильтры F1 и F3 есть ультафильтры.
Из аксиомы выбора в форме аксиомы Куратовского-Цорна (см. стр. 147)и леммы 2.4.3 следует, что каждый фильтр содержится в некотором ультрафильтре.
Лемма 2.4.4. Если f -ультрафильтр и AIJ В є F то Либо A Є F, либо В Є F.
Доказательство. Пусть A (J В Є F и пусть F -система всех подмно-X
((A|jM) є F) (M Є F).
Из определения фильтра следует, что F -фильтр. Eели A Є Fn В Є F, то F7 У F так как В Є F. Следовательно, F7 = F и либо A Є F, либо В Є F. Лемма доказана.
Если F -ультрафильтр в пространстве X, то X Є F, поэтому из леммы 2.4.4 вытекает
Следствие 2.4.1.
Если F -ультрафильтр в прост ранстве XhA С А. і о либо A Є F, либо C(A) Є F.
Определение 2.4.4. Точка x есть предел фильтра N, если фильтр N мажорирует фильтр окрестностей точки x.
x
x
Лемма 2.4.5. В отделимом топологическом, пространстве фильтр может иметь только один предел.
142
Доказательство.Пусть точки х , у являются пределами фильтра N, а Ox , Oy -такие окрестности точек х и у, что Ox Pl Oy = 0. Так как фильтр N мажорирует фильтры окрестностей точек х и у, то Ox Є N , Oy Є N, а это невозможно, так как пересечение любых двух принадлежащих фильтру множеств должно быть не пусто. XY
f: X ^ Y
XY
Определение 2.4.5. Точка у Є Y есть предел функции f по фильтру окрестностей точки .г. если точка у есть предел фильтра с базой
No = {A | A = f (V(х)), V(х) Є Fx}, (2.72)
Fx х
Теорема 2.4.1. Функция f непрерывна в точке х в том и только том, случае, если фильтр с базой (2.72) сходится к точке у = f (х).
Ny No
к точке у в том и только том случае, если для любой окрестости U(у) точки у выполнено включение U(у) Є N/. Согласно определению базы фильтра (2.72) это включение выполнено тогда и только тогда, когда существует такая окрестность V(х) точки х, что f(V(х)) C U(у). Это включение выполнено в том и только том случае, если для окрестности V(х) выполнено включение V(х) C f-1(U(у)). А это включение вы-
f
окрестности точки у = f (х) есть окрестность точки х. Теорема доказана.
По-существу, данная теорема утверждает, что функция непрерывна в данной точке в том и только том случае, если ее значение в данной точке есть предел ее значений при стремлении аргумента к этой точке. Мы видим, что понятие фильтра позволило сформулировать понятие непрерывности функции в привычных терминах анализа.
Определение 2.4.6. Точка х есть точка прикосновения фильтра F, если она есть точка прикосновения для каждого множества A Є F.
х
mpa, f, mo ультрафильтр f сходится, к точке х.
Доказательство. Пусть V(х-; -окреп поп ь точки х. Так как F-ультрафильтр, то либо V(х) Є F, либо C(V(х)) Є F. Однако последнее включение не
F
V(х). Таким образом, фильтр F мажорирует фильтр окрестностей точки х
143
Теорема 2.4.2. Пространство K компактно в том и только том случае, если в нем всякий ультрафильтр сходится.
K
F, который не имеет предела. Докажем, что K не компакт. Рассмотрим замыкания произвольной системы множеств A« є F. Так как Cl(A«) є F, то любой конечный набор множеств {Cl(A0(J)) , 1 < j < N} имеет непустое пересечение, поэтому
П Cl(A«(j)) = 0. (2.73)
1<j<N
Если
QCl(A«) = 0,
а
то точка X0 є П Cl(A«) есть точка прикосновения для всех множеств A«
а
F
fl Cl(A«) = 0. (2.74)
а
K
KK компакт. Рассмотрим произвольную систему замкнутых множеств {A« | а є I}, которая удовлетворяет условию (2.74). В силу этого условия система {A« | а є I} есть базис некоторого ультрафильтра F Пусть xo -предел этого ультрафильтра. Так как точка X0 есть точка прикосновения для всех множеств A« є F, то X0 є Г] A« и
а
C\A« = 0.
а
K
Следующую доказанную А. Н. Тихоновым теорему некотрые топологи считают одним из самых важных результатов общей топологии.
Теорема 2.4.3. Декартово произведение компактных топологических пространств компактно в тихоновской топологии.
Доказательство. Пусть {K« | а є I} -семейство компактных топологических пространств,
K = Д K« ,а є I
144
-декартово произведение пространств {Ka | а Є I}, рассматриваемое как топологическое пространство с тихоновской топологией. Пусть F -K
отображения проектирования:
P(а) : K — Ka ,
которые точке {x(a) | а Є I} Є K ставят в соответствие точку x(a) Є Ka. По определению тихоновской топологии в K каждое отображение P(а) непрерывно. В силу леммы 2,4,2 семейство множеств
Foa = {A | A = P(а)(В) ,B Є F} (2.75)
есть база некоторого ультрафильтра в пространстве Ka. Обозначим уль-
Fa Ka
Fa x( а) Є Ka.
F { x ( а ) | а Є I } Є K.
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed