Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 36

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 110 >> Следующая

Ясно, что
z' Є V(z', z'').
z'' {V(z' , z'') | z' Є K}
K
K V(z' , z'')
K C U V(zj ,z'').
1<J<N
Пусть
g(z''; х) := min{f (zj , z''; х) | 1 < j < N}. В силу (2,63) справедливо включение
g(z''; х) Є Cl(A).
Ясно, что
У(х Є K) : g(z''; х) < ф(х) + б ; и g(z''; z'') = ф(z").
137
Теперь определим открытые окрестности
U(z'') = {x | g(z''; x) > 0(x) - б}.
Так как z'' Є U(z''), то окрестности {U(z'') | z'' Є K} образуют откры-
K
{ zj'' | 1 < j < N'}
K с U U(zj').
1<j<N'
Определим функцию
g(x) := max{g(zj'; x) | 1 < j < N}.
Так как множество Cl(A) замкнуто, то в силу (2,63) справедливо включение
<?(x) Є Cl(A).
Очевидно, что
V(x Є K) : 0(x) — б < g(x) < 0(x) + б,
Поэтому
Теорема доказана.
Из этой теоремы сразу же следует теорема Стоуна-Вейрштрасса для алгебры функций над полем комплексных чисел. Ниже символом z* мы
z
(а + ib)* = а — ib
и алгебра понимается как алгебра над полем комплексных чисел.
Теорема 2.3.6. Предположим, что выполнены, следующие условия. K
2. Алгебра непрерывных функций A С C(K , C1) разделяет точки K
A
ственно равную единице:
(/0(x) = 1) => (/0 Є A).
138
A
(/ Є A) => (/* Є A). (2.65)
A C(K , C1)
C(K , C1)
Cl(A) = C(K , C1).
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что в
A
A' = {g | (g = (/ + /*)/2i) V (g = (/ — /*)/2) , / є A}
есть алгебра функций над полем действительных чисел, которая удовле-
A'
которые сколь угодно точно приближают по отдельности действитель-
C(K , C1)
комбинацию таких функций.
K C1
A
функций, и поэтому к задаче аппроксимации аналитических функций аналитическими теорема Стоуна-Вейрштрасса напрямую не применима.
2.4 Фильтры, ультрафильтры и теорема Тихонова.
В метрическом пространстве понятия предела функции, замыкания множества и компактности могут быть описаны в терминах сходящихся последовательностей. В общем случае для этого требуется обобщение понятия предела последовательности: понятие предела по фильтру. При изучении сходимости в топологических пространствах теория фильтров оказывается мощным и удобным инструментом и в некоторых отношениях она проще, чем теория, основанная на понятии последовательности или понятии сходимости по Муру-Смиту, однако теория фильтров требует некоторых навыков работы с объектами, которые не строятся явно, но существование которых постулируется на основе аксиомы выбора.
Определение 2.4.1. Фильтром в множестве X называется такая система F его подмножеств, которая удовлетворяет условиям:
1. Если A Є F и A С В С X, то В Є F.
2. Если A1 Є F ,A2 є F, то A1 f| A2 Є F.
3. 0 Є F
139
Приведем примеры.
Пример 2,4,1. Пусть множество X состоит из трех элементов: X = {a , b , c Тогда следующие системы его подмножеств являются фильтрами:
F1 = {[a], [a , b] , [a , c] , [a , b , c]}. (2.66)
F2 = {[a,b] , [a,b,c]}. (2.67)
F3 = {[b] , [a,b] , [b,c] , [a,b,c]}. (2.68)
Пример 2.4.2. Пусть X -топологическое пространство и Fx -система всех окрестностей точки x. Тогда Fx -фильтр.
Лемма 2.4.1. Если Fa ,а Є I -фильтры, то их пере сечение F = П Fa есть фильтр.
Доказательство. Так как Va: X Є Fa, то пересечение F не пусто. Так как Va : 0 Є Fa, то 0 Є F. Пусть A Є F и A С B. Тогда Va: A Є Fa, поэтому Va: B Є Fa и поэтому B Є F. Аналогично доказывается, что
FF Если система Fo подмножеств множества X удовлетворяет условиям: lbf. Если A Є F0,,B є F0, то существует такое C Є F0, что C С
AB
2bf. 0 Є Fo,
FX X
F0, есть фильтр. Удовлетворяющая условиям lbf-2bf система подмножеств F0 называется базой фильтра, F, если F есть наименьший фильтр, F0
F0
F00 X
условиям:
0 Є F00 , V(A Є F00 , B Є F00) : Ap)B = 0. (2.69)
F0 X
F00
F00
F F0
Таким образом, для задания фильтра достаточно задать удовлетворяющую условиям (2.69) систему множеств, затем построить базу фильтра, а потом и сам фильтр.
Рассмотрим топологичекое пространство и пусть Bx -состоящая из открытых множеств база топологии в точке x. Легко видеть, что Bx есть
x
140
Пусть
f: X ^ Y -отображение пространства XbY,
Лемма 2.4.2. Если Fo -база фильтра в пространстве X, то Fo = {A | A = f (B), B Є F} -база фильтра в пространстве Y.
Доказательство. Достаточно заметить, что
f (A f| B) C f (A) f| f (B),
поэтому если C C A f| B, то f (C) C f (A f| B) C f (A) П f (B).
Определение 2.4.2. Фильтр F' мажорирует фильтр F (мы будем обозначать это так: F' У F), если F C F', т.е. если каждое множество,
F F'
В примере 2.4.1 фильтр F1 мажорирует фильтр F2 : F1 У F2. Мы будем называть фильтры сравнимыми, если один из них мажо-
F1 F2
Fi її F3 -нет. Заметим, что в силу принятого нами соглашения A C A
F У F
X -отделимое топологическое пространство , х = y a Fx и Fy -фильтры окрестностей точек х и y то фильтры Fx и Fy не еравнимы, так как су-ществют такие окрестности Ox Є Fx , Oy Є Fy, что Q Oy = 0, поэтому
Если Fa2 У Fa1 и Fa3 У Fa2 ,то Fa3 У Fa1, поэтому введеным соотношением У множество всех фильтров на данном пространстве X частично упорядочение .
Лемма 2.4.3. Пусть {Fa | а Є I} -множество фильтров, каждые два,
F
мажорирует все фильтры, Fa:
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed