Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 43

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 110 >> Следующая

непрерывно. Следовательно, отображение
Ві — В2 : x — x 0 T(x) — T(x)
непрерывно как композиция непрерывных отображений. (Мы учли, что
x0y—y
мкнутое Ві 0 В2 множеетво Gr(T) непрерывно.) Теорема доказана.
Заметим, что в доказанной нами теореме предполагалось, что отображение задано на всем, пространстве.
169
3.3.3 Теорема Хана-Банаха.
В теореме Хана-Банаха топологическая структура пространств не рассматривается и в дальнейших рассуждениях она никак не используется.
Определение 3.3.6. Заданная на вещественном линейном пространстве L функция
р: L — R+ (3.38)
называется калибровочнной функцией, если она удовлетворяет условиям:
V(x ,у є L) : р(х + у) < р(х) + р(у). (3.39)
V(a > 0 , ж є L) : р(ах) = ар(х). (3.40)
Определение 3.3.7. Заданная на комплексном линейном пространстве L
p: L — R+
называется полунормой, если она удовлетворяет условиям
V(x є L , у є L) : р(х + у) < р(х) + p(y), (3-41)
V(x є L , а є C1) : р(ах) = |а|р(х). (3.42)
Всякая полунорма есть калибровочная функция, а отличие полунормы от нормы состоит в том, что для полунормы из условия р(х) = 0 не следует, что X = 0.
Следующая теорема называется теоремой Хана-Банаха для вещественно-линейных пространств.
Теорема 3.3.8. Пусть L -вещественное линейное пространство, Lo С L -подпространство пространства L , р(х) -калибровочная функция на L и /(ж) -заданный на, подпространстве Lo вещественно-линейный функционал, который удовлетворяет условию
V(X є Lo) : /(ж) < р(х). (3.43)
L
функционал f, который удовлетворяет условиям:
V(X є Lo) : /(ж) = /(ж) , V(X є L) : — р(—ж) < /(ж) < р(х). (3.44)
170
Доказательство. Если L = Lo, то доказывать нечего. Пусть xo Є L\ /.,,. Из (3.43) и определения калибровочной функции следует, что справедливо неравенство:
V(x Є Lo , у Є Lo , xo Є L \ Lo) : f (x) + f (у) = f (x + у) < p(x + у) = p(x — xo + у + xo) < p(x — xo) + p(y + xo).
Поэтому
V(x Є Lo , у Є Lo , xo Є L) : f (x) — p(x — xo) < p(y + xo) — f (y). (3.45)
y
(3.45) не зависит от x, поэтому существует такая не зависящая от x и у (но зависящая от xo) константа а, что выполнены неравенства:
V(x Є Lo , у Є Lo) : f (x) — p(x — xo) < a < p(y + xo) — f (y). (3.46)
Следовательно,
V(x Є Lo) : f (x) — a < p(x — xo)
V(y Є Lo) : f (у) + а < p(y + xo). (3.47)
Пусть L і прямая сумма линейного пространства Lo и одномерного про-
xo
Ll = Lo 0{txo} , t Є Еі. На пространстве L і определим линейный функционал
V(x Є Lo) : A(x + txo) = f (x) + ta. (3.48)
xo Lo Из (3.47) следует, что
V(t > 0) : f^x + txo) = t(f (x/t) + a) < tp(x/t + xo) = p(x + txo), V(t > 0) : f^x — txo) = t(f (x/t) — a) < tp(x/t — xo) = p(x — txo).
Если L = то теорема доказана. Если L \ L1 = 0, то повторим наше построение.
Далее мы проведем расуждения, которые опираются на аксиому вы-ыбора и иногда называются трансфинитной индукцией.
Пусть {La , fa} , a Є I -множество всех пространств и функционалов, которые можно получить описанным выше способом. Введем в этом множестве частичное упорядочение, положив
171
если
La D L ні V(x Є Le) : f (x) = fa(x).
При таком линейном упорядочении каждая линейная цепь имеет максимальный элемент: им является пара, состоящая из объединения всех входящих в цепь пространств La и естественно определенного на этом объединении функционала. В силу аксиомы выбора существует такой максимальный ОТНОСИТеЛЬНО ВВедеННОГО упорядочения Элемент {Lmax , fmax}, ЧТО {Lmax , fmax} > {Lo , f}. ЕСЛи Lmax = L, ТО МЫ СНОВа МОЖЄМ ПрОВЄ-
сти описаное выше построение и получить элемент, который будет боль-{ Lmax , fmax}
Lmax = L
доказана.
Простым следствием доказанной теоремы является теорема Хана-Банаха для комплексно-линейных пространств.
Теорема 3.3.9. Пусть L -комплексно- линейное пространство, Lo С L -подпространство пространства, L , p(x) -полунорма на L и f (x) -
L
влетворяет условию
V(x Є Lo): |f (x)|< p(x). (3.49)
L
ционал, f, который удовлетворяет условиям,:
V(x Є Lo) : f(x) = f (x) , V(x Є L) : |f (x)| < p(x). (3.50)
Доказательство. Сначала будем рассматривать наше пространство как вещественно-линейное и применим предыдущую теорему к вещественно-линейному функционалу Re f (x) и полунорме p(x), которую будем рассматривать как калибровочную функцию. Пусть Re f -полученное согласно предыдущей теореме расширение вещественно-линейного фу 11 к-Re f(x)
V(x Є L) : fx) = Re fx) — «Re fix) (3.51)
Ясно, что формула (3.51) задает комплексно-линейное расширение функ-f(x)
fx) = |f(x) | exp(io).
Тогда
|f (x)| = Re f (exp(—i#)x)) < p((exp(—i#)x)) = p(x).
172
Теорема доказана.
Теорему Хана-Банаха часто формулируют в упрощенной форме: заданный на линейном подмножестве банахова пространства линейный функционал можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
3.4 Сопряженное пространство и элементы теории двойственности.
3.4.1 Сопряженное пространство.
Определение 3.4.1. Сопряженным к данному банахову пространству B
B * = L(B — C1)
B
множество комплексных чисел.
Норма в сопряженном пространстве задается формулой:
V(f Є B*) : ||f | B*|| = sup{|f (x)| | x Є B , ||x|| < 1}. (3.52)
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 110 >> Следующая

Реклама

Обмен квартир

Живите в старой квартире до получения ключей в новой! Закажите звонок

azbuka.ru

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed