Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Раньше свойство (2.53) называлось вполне ограниченностью, но теперь этот термин связывается с другим понятием.
K
свойства эквивалентны. K
{xj} K
жит сходящуюся к точке X0 Є K подпоследовательность. K
множество.
Доказательство. Докажем, что из первого условия следует второе. Пусть K -компактное пространство и {xj} С K. Пусть Fn = Cl({xj | j > п}). Множества Fn замкнуты и
V(n > п(б)) : sup{fn(x) | X Є K} < б.
K
(2.53)
1<j<N
V(j < оо) : pi Fn = 0.
n< j
Поэтому из условия компактости 2.3.2 следует, что
129
Следовательно, любой шар b(x0 , 1/m) имеет непустое пересечение с каж-{xj | j > n}
V(m > 0 , п < со) , 3xj(m): xj(m) Є {xj | j > n} Q b(xo , 1/m).
Последовательность {xj(m)} , m = 1,... есть искомая подпоследователь-
{xj}
Докажем, что из второго условия следует третье. Ясно, что из второ-
K
б > 0
произвольно шар b(x0 , б). Этот шар согласно предположению не содер-
KK x1 Є b(x0 , б) b(x1 , б)
существует такая точка x2 Є K, что
x2 Є b(xo , б) (J b(xi, б).
{ xn} С K
творяет условию
xn+i Є U b(xj, б),
0<j<n
поэтому
V(m > 0 , n > 0) : d(xn , xn+m) > б {xn}
K
Теперь докажем, что из третьего условия следует первое. Предположим, что третье условие выполнено, но пространство не компактно. Тогда существует открытое покрытие {Va} проетранетва K, которое не содержит конечного подпокрытия. В силу сверхограниченности пространства K существует конечное число шаров {b(xj , 1), 1 < j < N}, которые
K
крывается никакой конечной системой множеств Va. Пусть это будет шар b( x1 , 1) K
1/4. Среди шаров радиуса 1/4, которые покрывают шар b(x1, 1), найдем шар b(x2 , 1/4), который не покрывается никакой конечной системой Va
ность шаров {b(xn , 4_n+1)}, что
xn , xn+m) < d(xn , xn+1) + . . . + d(xn+m—1 , xn+m)
< 4—n+1 (1 + 1/4 + ...) < 4—n+2/3,
130
и никакой из шаров b(xn , 4-n+1) не покрывается никакой конечной си-Va
K
точке x0 є K. ( уіцесл иуеі інкое о'і крьпое множество Va(o) Є {Va}, что x0 Є V a ,,.по-по.му суіцеп i;vei такой шар b(x0 , б), что b(x0 , б) С Va(0). Так как d(xn , x0) < 4-n+2/3 — 0 , n — оо, то при достаточно большом n шар b(xn , 4-n+1) будет целиком содержаться в шаре b(x0 , б), и поэто-
Va(0)
b(xn , 4"n+1). Теорема доказана.
K
пространстве, то существует такое счетное множество {xj} С K, что
K = Cl{xj }. (2.54)
n
b(xj , 1/n), что множество K будет содержаться в конечном объединении этих шаров, а потом рассмотрим объединение центров всех шаров. Это и будет искомое счетное множество.
Пусть C(X , M) -множество всех непрерывных функций на топологическом пространстве X со значениями в метрическом пространстве (M, ам):
/ Є C(X,M) ,/: X — M.
Мы будем считать, что
sup{dM(/(x) , g(x)) | x Є X} < то,
M
лентную:
1 + ам
C( X , M)
рики
dc(/,, g) := sup{dM(/(x) , g(x)) | x Є X}. (2.55)
M
C( X , M) метрики (2.55).
{ /n}
M
З/(x) , /(x) := lim /n(x). (2.56)
131
Докажем, что определенная равенством (2,56) функция f (x) непрерывна. Пусть xo Є X и m , n -произвольны. Тогда
аы(f (Xo) , fm(x)) < ам(f (Xo) , fm(Xo)) + ам(fm(Xo) , fn(xo)) + Ом(fn(xo), fn(x)) + dM(fn(x) , fm(x)) < 2sUp{dM(fn(x) , fm(x)) | x Є M} +
Выберем п(є) настолько большим, что
V(n > п(є) , m > n(e)) : sup{dM(fn(x) , fm(x)) | x Є X} < є/3,
и неравенстве (2,57) перейдем к пределу m —> то. Получим:
2
V(n > п(є)) : O1M (f (xo) , f (x)) < з є + cIm (fn (xo) , fn(x)).
n > n( є) n
рывность функции fn(x) найдем такую окрестность V(xo) ^отки xo, что
f(x) xo
xo
Отметим одно свойство функций из пространства C(K , M).
Лемма 2.3.4. Если f є C(K , M), то
> 0), 36(є): (Ok(x , x') < S(є)) (Ом(f (x), f (x')) < є). (2.58)
Доказательство. Пусть утверждение леммы неверно. Тогда существует такое єо > 0, что для люб ого n > 0 есть точ ки xn , удовлетворяющие условию:
Ok(xn , < 1/n , Ом(f (xn), f (xn)) > єo. K
xn , x'n
Ом(f (xo) , fm(xo)) + Ом(fn(x) , fn(xo)).
(2.57)
V(x Є V(xo)) : Ом(fn(xo) , fn(x)) < є/3.
Тогда будет выполнено неравенство
V(x Є V(xo)) : Ом(f (xo) , f (x)) < є,
x
n
xo , xn
.
132
Ясно, что мы должны иметь:
В силу непрерывности функции /:
dM(/(xn) , / (xn)) < dM(/(xn) , / (x0)) + dM(/(x0) , / (xn)) ^ 0,
что противоречит нашему предположению. Лемма доказана.
Получим критерии компактности множества в пространстве C(K , M).
Определение 2.3.7. Множество A = {/a | a Є I} С C(K , M) называется равностепенно непрерывным, если
V(6 > 0), 3?(б): (dK(x , x') < 5(б)) (sup{dM(/a(x), /a(x')) | a Є I} < б).
(2.59)
Теперь докажем теорему Арцела-Асколи.
Теорема 2.3.4. Пусть выполнены следующие условия. K
2. Множество A = {/a | a Є I} равностепенно непрерывно.
3. Существует такое компактное множество K С M, что
V(/a Є A) : /a(K) С K
Тогда, множество A предкомпактно в C(K , M).
{xj | j = 1, . . .}
A
жит последовательность, которая сходится в каждой точке множества {xj | j = 1, . . .}
канторовским диагональным процессом.
x1 Є { xj | j = 1 , . . . } теоремы выполнено включение
B := {/a(x1) | a Є I} С K С M. (2.61)
Так как множество JK компактно, то множество B1 содержит сходящуюся последовательность. Пусть это будет последовательность {/1>n(x1) | n = 1,...} С B1. Рассмотрим множество
