Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 40

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 110 >> Следующая

Тогда
||(xo + yo) — (xn + yn)|| < ||xo — x„|| + ||yo — y„|| — 0 , n — то,
что и доказывает непрерывность операции сложения. Непрерывность умножения на число доказывается абсолютно аналогично.
Теорема 3.1.3. 1. Если O -открытое множество в банаховом пространстве В w A = 0, то множество
AO = {x I x = Ay , y O}
открыто.
2. Если O -открытое множество в банаховом пространстве В и A -
В
A + O = {x I x = y + z,y Є O , z Є A}
открыто.
Доказательство. Для доказательства первого утверждения заметим, что отображение
В — В : x — x/A
AO O
этом отображении и поэтому открыто.
Для доказательства второго утверждения заметим, что отображение
В — В: x — x — y
непрерывно. Поэтому при любом y Є A множество y + O открыто как
O
154
A+O
3.2 Пространство линейных отображений.
Bi B2
Определение 3.2.1. Отображение
T: B1 — B2
называется линейным, если
V(A Є C , ? Є C , x Є Bi, y Є Bi) : T(Ax + ?y) = XT(x) + ?T(y).
Лемма 3.2.1. Если линейное отображение непрерывно в точке x = 0, то оно непрерывно в произвольной точке xo Є B1.
Доказательство. Пусть
xn — xo , n — то.
Тогда
(xn — x0) — 0 , n — то, T
||T(xn) — T(xo)|| = ||T(xn — xo)|| — 0 , n — то,
а отсюда следует непрерывность отображения T в точке x0.
Лемма 3.2.2. Если линейное отображение непрерывно в некоторой xo Є Bi
Доказательство. Пусть
yn — 0 , n — о.
Тогда
(xo + yn) — xo,
T xo
||TЫ || = ||T(xo + yn) — T(xo) || — 0 , n — то, Из лемм 3.2.1 и 3.2.2 вытекает
Теорема 3.2.1. Если линейное отображение непрерывно в одной точке, то оно непрерывно всюду.
155
Множество всех линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово простра нство B2 мы обозначим сим волом L(B1 — B2).
Определение 3.2.2. Линейное отображение
T: B1 — B2
ограничено, если существует такая константа C < сю, что
V(X є B1) : ||T(x)|| < C||х||. (3.8)
B2
B1
дальнейшем мы не будем специально оговаривать в каком именно пространстве берутся нормы, если это можно понять из контекста.
C
творяют неравенству (3.8) называется нормой ограниченного оператора
T
||T | L(B1 — B2)|| := sup{||T(x) | B2| | ||X | B1У < 1}. (3.9)
Мы оставляем читателю проверку того, что правая часть (3.9) действительно задает норму на линейном пространстве всех ограниченных ли-
B1 B2
Теорема 3.2.2. Линейный оператор непрерывен в том и только том случае, если он ограничен.
Доказательство. Непосредствено из определения (3.8) следует, что ограниченный оператор непрерывен в нуле, поэтому ограниченный оператор непрерывен.
T
станта 5 > 0, что
V(||x|| <5) : ||T(ж)|| < 1. (3.10)
Положим в (3.10)
X = 5у/2||у|| ,у = 0. (3.11)
Тогда получим:
Vfo є B1) : ||T(у)||< 22||у||,
T
В дальнейшем пространство L(B1 — B2) мы будем рассматривать как нормированное пространство с нормой (3.9).
156
Теорема 3.2.3. Пространство ?(Ві — В2) есть банахово пространство, т. е. оно полно относительно метрики, которая индуцирована нормой (3.9).
Доказательство. Пусть {Tn} С ?(В1 — В2) -произвольная последовательность, которая фундаментальна по норме (3.9). Так как
V(x Є Ві) : ||T„(x) — Tm(x)|| < ||T„ — Tm||||x||
В2
V(x Є В1) , BT(x) : lim Tn(x) = T(x). (3.12)
T
что он ограничен.
Пусть N выбрано настолько большим, что
V(m, n> N) : ||T„ — Tm|| < 1
Тогда
V(x Є Ві) : ||T„(x)|| < ||T„(x) — Tm(x)| + ||Tm(x)|| <
(1+ ||Tm||)||x||. (3.13)
Переходя в неравенстве (3.13) к пределу n — то, мы получаем неравенство
V(x Є Ві) : ||T(x)||< (1 + ||Tm||)||x||,
T
ратор непрерывен, поэтому наша теорема доказана. Рассмотрим
Пример 3.2.1. Пусть D С Rn -замкнутая ограниченная область в пространстве Rn , k(x , y) -непрерывная функция, заданная в области D xD. Формула
Kf ^) = / k(x,y)f (y)dy (3.14)
D
задает оператор
K: C(D) — C(D).
157
Оценим его норму. Имеем:
| C(D) || = sup{| / k(x, y)f (y)dy|x Є D} <
D
(sup^ |k(x , y)|dy 1 x Є D}) sup{|f (y)| 1 y Є D} = D
(sup{/ |k(x,y)|dy | x Є D})||f | C(D) ||
D
Следовательно,
||K | L(C(D) — C(D))|| < sup{^ |k(x, y)|dy | x Є D}.
D
Будем рассматривать заданный формулой (3.14) оператор как оператор из L1 (D) в L1 (D) и оценим его норму. Имеем:
| L1P)H = j || k(x,y)f (y)dy|dx
D D
< (sup{^ |k(x , y)|dx | y Є D}^ |f (y)|dy < D D D
sup{/ |k(x,y)|dx | y Є D}||f | L1P)H.
D
Следовательно,
||K | L(L1(D) — L1P))H < sup{^ |k(x, y)|dx | y Є D}.
D
Будем рассматривать заданный формулой (3.14) оператор как оператор L2(D) L2(D)
| L2(D)||2
D
k(x, y)f (y)dy
D
2
dx
< \ Jj |k(x,y)^dxdy I I у |f(y)|2dy DD
158
Следовательно,
1/2
K | L(L2(D) — L2(D))|| <
|k(x , y)|2dxdy
В рассмотренном примере мы получили оценку сверху для нормы оператора. Точное вычисление нормы оператора может быть трудной задачей.
3.3 Основные принципы.
Основными принципами функционального анализа традиционно называются несколько наиболее часто цитируемых теорем, которые, как правило, составляют "трудную" часть доказательств. Интересно, что эти теоремы (за исключением теоремы Хана-Банаха) являются следствием теоремы Бэра о категориях.
3.3.1 Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed