Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3.1.2. Нормированным пространством называется линейное простанство, рассматриваемое вместе с заданной на нем нормой.
Из определения нормы следует, что функция
d(x , y) = ||x — y|| (3.1)
149
удовлетворяет аксиомам расстояния (метрики), и нормированное пространство по умолчанию обычно рассматривается как метрическое пространство с метрикой (3.1),
Из неравенства треугольника следует, что
||x|| — ||y|| < Ilx — y||.
Так как правая часть этого неравенства симметрична по x , y, то отсюда следует, что
|||x|| — ||y||| < ||x — y||. (3.2)
Из неравенства (3.2) следует, что в нормированном пространстве функция
x — ||x||
непрерывна, если ее рассматривать как функцию на метрическом пространстве с метрикой (3.1).
Определение 3.1.3. Заданные на линейном пространстве ? нормы || ||i
и || ||2 эквивалентны:
I Ii ~ I ||2, (3.3)
если существуют такие положительные константы a и Ь, что
V(x Є ?) : a||x||2 < |x|1 < b||x||2.
Так как эквивалентные нормы задают одну и ту же топологию метрического пространства, то эквивалентные нормы иногда не различаются.
Будем рассматривать банахово пространство B как метрическое пространство M с метрикой (3.1). Пусть M -пространство, построенное при доказательстве теоремы 2.1.1 на стр. 103. Перенесем на пространство M
B
a[xn] + ?[yn] := [axn + ?yn] M
||[xn]|| := lim ||xn||.
n—>oo
Существование предела следует из неравенства (3.2).
M
Повторяя шаг за шагом доказательство теоремы 2.1.1, мы убедимся в том, что полученное пространство -это полное нормированное пространство, которое как метрическое пространство есть пополнение простран-B
150
Определение 3.1.4. Банахово пространство -это нормированное пространство, которое как метрическое пространство полно относительно метрики (3.1),
Так как при необходимости мы можем перейти к пополнению пространства, то в дальнейшем все нормированные пространства мы будем считать банаховыми.
В
сматривается норма, мы будем обозначать ее символом ||- | В||. Прямая сумма банаховых пространств и фактор-пространство банахового пространства по подпространству обычно рассматриваются как банаховы пространства.
Определение 3.1.5. Прямой суммой В1 ф В2 банаховых пространств В1 и В2 называется прямая сумма В1 ф В2 линейных пространств В1 и В2
||x Ф y I Ві ф В2|| = ||x I Ві| + ||y I В2Ц. (3.4)
Заметим, что в случае гильбертовых пространств вместо нормы (3.4) удобнее рассматривать другую, эквивалентную норму:
||x Ф y I Ві ф В2Ц2 = ||x I Ві|2 + ||y I В2|2.
Ясно, что отбражения проектирования
Pr1: x ф y — x , Pr2: x ф y — y
В1 ф В2
В1 В2
Пусть В/Во -фактор-пространство линейного пространства В по линейному подпространству В0, Обозначим символом X Є В/В0 класс эквивалентности, который содержит вектор x Є В. Положим
V(X Є В/Во) : ||Х I В/Во| =finf{||x + ? I В|| I f Є Во}. (3.5) Сразу же заметим, что справедливо очевидное неравенство
| xx I В/Во| < | x I В| .
Во В
151
В/Во
Доказательство. Сначала докажем, что функция (3.5) определяет нор-
B
l|x + У + С + П I BIl < ||x + С | BII + ||y + n | B||,
поэтому
||X + X | B/Bo|| =inf{||x + y + С + п|| | (С + п) є Bo} < inf{||x + С | B|| | С є B} + inf{||у + n | B|| | п є B} = ||X | B/Bo|| + ||X | B/Bo|.
Следовательно, неравенство треугольника для функции (3.5) выполнено. Однородность относительно умножения на скаляр очевидна. Пусть
||ж | B/Bo|| = 0.
Тогда существует такая последовательность {С,,} С Bo и такой элемент X є ж, что
||X + Сп|| — 0 , n — то. Bo
Bo
X = - lim Сп є Bo,
га—>оо
поэтому
X =0.
Невырожденность функции (3.5) доказана. Итак, мы доказали, что функ-
B/Bo
B/Bo
XX,
ность. Без ограничения общности мы можем считать, что выполнено неравенство
||Xn+i - Xn | B/Bo|| < 2"(п+1), Xi = 0. X, є B , С, є Bo
||Xn+i - Xn + Сп | B|| < 2-п ,Xi = 0.
Положим
Уп+1 = X! (Xn+1 - Xn + Сп) , У1 = 0. 1<m<n
Так как
уп+1 уп Xn+1 Xn + '^го
152
то существует предел
у := lim y„.
Справедливо неравенство
Ну - fn+i | B/Bo| = Ну - уп+i | B/Bo|| <
|y - уп+1 | B|| — 0 , n — то. B/Bo
Приведем примеры банаховых пространств.
Пример 3.1.1. Пространство Cn есть банахово пространство относительно каждой из норм
= ^2 |zj| , 11zH = max{|Zj| | 1 < j < n}.
1<j<n
Пространство Cn можно рассматривать как прямую сумму пространств
C1.
Пример 3.1.2. Пространство C(D) всех определенных на компакте D с Rn нерперывных функций есть банахово пространство относительно нормы
Hf | C(D)H =sup{|f(x)|| x Є D}. (3.7)
Пример 3.1.3. В пространстве Lp , 1 < p < то, с интегралом I рассмотрим линейное подпространство Lo:
Lo = {f | I(|f |p) = 0},
Lo
Lp/Lo.
Это фактор-пространство есть банахово пространство относительно нормы
V(fЄ Lp/Lo) : ||7|| = I(|f |p)1/p.
где f -любая функция из масса эквивалентности /. Полнота простран-Lp/Lo
Lp/Lo Lp
чается тем же символом.
153
Теорема 3.1.2. В банаховом пространстве операции сложения
(В X В) э x X y — x + y Є В и умножения на число
(C1 X В) э A X x — Ax В
непрерывны.
Доказательство. Пусть
x„ Є В , y„ Є В , x„ — xo , yn — yo , n — то.
