Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
B2 := {/!,пЫ | n =1,...}С K С M.
(2.60)
133
Это множество также содержит сходящуюся последовательность. Пусть это будет последовательность значений функций {/^n | n = 1,...} С {Дп | n = 1,...} в точке x2. Очевидно, что функциональная последовательность {/^n(x) | n = 1,...} сходится по краней мере в двух точках: x1 x2
и выберем подпоследовательность {Дп | n = 1,...} С {Дп | n = 1,...}, которая будет сходиться в точке x3. Продолжая этот процесс, мы получим такие функциональные последовательности
что последовательность {/„^n(x) | n = 1,...} сходится по крайней мере в точках x1, x2 ,... xm. Последовательность {/^n | n = 1,...} есть искомая
{xj | j =
1, . . .}
Заметим, что в нашем построении мы не использовали компактности K
Теперь докажем, что последовательность {/^n | n = 1,...} сходится в метрике пространства C(K , M), Фиксируем б > 0 и найдем соответсву-ющее по (2,59) число 5(б). Так как множество K -метрический компакт, то существует конечное число шаров {b(yj 5(б)/2) | 1 < j < N}, которые покрывают все пространство K, В каждом шаре b(jj) 5(б)/2) есть точка из множества (2,54), Пусть это будет точка xj Є b(yj 5(б)/2), Пусть x Є K -произвольная точка. Предположим, что эта точка принадлежит шару b(yj 5(б)/2). Так как точки x и xj принадлежат одному шару b(yj 5(б)/2), то dK(x , xj) < 5(б), и в силу (2.59) справедливо неравенство
Так как последовательность {/n^(xj) | n = 1,...} сходится в кождой xj
ЗЦб) , V(n > п(6) , m > п(6)) : SUp{dM(/m,m(xj) , /n,n(xj) | 1 < j < N}) < б , .
Тогда из (2.62) следует, что
V(n > п(6) , m > п(6)) : sup{dM(/n,n(x) , /m,m(x)) | x Є K} < 3б.
Вз := {/2,n(x3) | n = 1
.} С K С M.
{/m,n | n = 1, . . .} С {/m—1,n | n = 1, . . .} , m = 1, . . .
Vm : {/n,n | n = 1,...} С {/m,n | n = 1,...}.
(2.62)
134
Итак, мы установили, что множество A содержит фундаментальную в
C( K , M) A
Теперь мы перейдем к теореме Стоуна-Вейрштрасса, которая описывает структуру пространства C(K , C1). Сначала дадим несколько определений.
Определение 2.3.8. Множество функций a называется алгеброй функций над полем действительных (комплексных) чисел, если
a
ствительных (комплексных) чисел относительно операций поточечного сложения и умножения на число:
v(/ є a ,g є a): а/ + ?g є a
для любых действительных (комплексных) чисел а , ?.
a
ного умножения:
v(/ є a ,g є a): /g є a.
Ka
точки множества K если для любой пары не совпадающих точек x є K , y є K в множеетве a существует такая функция / є a, что /(x) =
/(у).
В дальнейшем мы не будем уточнять, над каким полем рассматривается алгебра функций, если это ясно из контекста или не имеет значения. Приведем примеры.
Пример 2,3.1. Множество всех полиномов на отрезке [0, 1] есть алгебра функций.
Пример 2,3.2. Множество функций вида
где P (x) -произвольный поли ном, a Q(x) -произвольный полином, не име-
[0 , 1] [0 , 1]
Пример 2.3.3. Множество всех конечных линейных комбинаций функций {sin nx , cos nx | n = 0,1,...} есть алгебра функций на отрезке [0 , 2п].
Пример 2.3.4. Множество всех конечных линейных комбинаций функций {exp(inx) | n = 0,1,...} есть алгебра функций на отрезке [0 , 2п].
135
В ниже следующей теореме речь идет об алгебре действительных функций над полем действительных чисел.
Теорема 2.3.5. Предположим, что выполнены следующие условия.
1. Множество K есть компакт.
2. Алгебра непрерывных функций A С C(K , R1) разделяет точки
K
A
ственно равную единице:
(MX) Ее 1) (fo Є A).
Тогда, замыкание алгебры A в метрике пространства C(K , R1) совпадает с пространством C(K , R1 ):
Cl(A) = C(K, R1).
Эта теорема называется теоремой Стоуна-Вейрштрасса. Смысл этой
K
A
K
A
A Cl(A)
удовлетворяет условиям 2-3.
Перейдем к доказательству теоремы. Сначала докажем, что если f Є A, то |f | Є Cl(A)-IIyCTb a = sup{|f(x)| | x Є K} и Pn (t) -произвольная последовательность полиномов, которая равномерно на отрезке [0, 1] сходится к функции \ft\
sup |Pn(t) -уДЦ t Є [0, 1]} — 0 , n — оо.
Такая последовательность полиномов существует. Можно взять соответствующие полиномы Бернштейна, можно взять определяемые по индукции полиномы
P1(t) = 1 , Pn+1(t) = Pn(t) + (t - Pn(t)2)/2.
Ясно, что Pn((f (x)/a)2) Є A и
sup |aPn((f (x)/a)2) — |f (x)|| | x Є K} — 0 , n — ею. | f| Є Cl(A)
V(f Є A) : max{fi | 1 < г < N} Є Cl(A) , min{ft | 1 < г < N} Є Cl(A).
(2.63)
136
Пусть теперь ф(х) -произвольная функция из пространства C(K , R1), z', z'' -произвольные точки из K, Построим такую функцию f (z' , z''; х) Є Л, которая удовлетворяет условиям:
f (z', z''; z') = ф(/) , f (z', z''; z'') = ф^"). (2.64)
Такая функция обязятельно существует. Действительно, пусть f, (z', z''; х) Є Л z' , z''
fo(z' ,z''; z') = fo(z' ,z''; z") при z' = z''.
f(z' , z''; х)
нацию
f (z' ,z''; x) = afo(z', z''; x) + в,
так как для определения констант а, в мы получаем разрешимую систему уравнений
ф^') = afo(z' ,z''; z') + в ф^') = afo(z' ,z''; z'')+ в.
Теперь фиксируем произвольно б > 0 и определим открытые окрестности
V(z', z'') = {х | f (z', z''; х) < ф(х) + б}.
