Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
161
Доказательство предложения. Если v ? то Vi = = LvXi^Adiai, так как Xi ^Ah. Пусть Vi = ^puhXh. Для любого монома f = xl имеем
При этом, если Vi^Adiai, то <Je, а)> -J-Gti. Следовательно, <l-j-fc— 1,, а а )>-{-d, т. е. LvAy CZ Ax+d, что и требова-
лось доказать.
Из предложения 3 п. 12.4 непосредственно вытекает Следствие. Алгебра Ли группы Jd d-квазиструй диффеоморфизмов есть фактор-алгебра і<г = 9о/3><*- Отображения 7zP.г ^p ^я индуцируют гомоморфизмы алгебр тир>ї»: \р \q. Ядро отображения алгебры \р в алгебру струй непосредственно предыдущего порядка коммутативно.
Наконец, из предложения 4 п. 12.4 вытекает Следствие. Квазиоднородные векторные поля степени О образуют конечномерную подалгебру Ли а в алгебре Ли всех полей. Алгебра Ли а естественно изоморфна алгебре Ли группы 0-струй диффеоморфизмов, j0.
В дальнейшем мы иногда будем отождествлять векторные поля V с наборами п функций (или рядов) v.. Следующие два предложения будут использоваться в дальнейшем для приведения полу-квазиоднородных функций к нормальной форме.
JI е м м а. Пусть F — степенной ряд порядка d, и пусть v — формальное векторное поле положительного порядка 8. Тогда ряд Тейлора
F(x + «(x)) = F(x)
имеет остаточный член R порядка строго большего, чем d-f-8.
Доказательство. Ввиду линейности R по F достаточно доказать это для случая, когда F — моном. Пусть F = Qcft, v = = ^Vfdjdxi. Рассмотрим член ряда Тейлора, содержащий <91 mIFjdxm [т = (mv .. тп)). Мономы, входящие в этот член, имеют показа-
я
тели P = Tz — т -}- 2 где Ii—показатель одного из мономов
«¦=1
Vtti
функции vfi. Следовательно, = гДе ^i, j — один из пока-
j=i
зателей I разложения Vi = ^jvitlX1. Итак,
п Ttli
+ 2 2 ('<./—*«)•
<=i J=і j
11 В. И. Арнольд и др. 162
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Ho по условию <7е, (Iiif—1<; Следовательно,
"(jPi oiy^d-\-\m\b, где | т | = Tra1 -J- . .. тп. Значит, все мономы, входящие в члены выше первой степени ряда Тейлора по v, имеют порядок не менее d 2а, что и требовалось доказать.
Оценка. Пусть F = F0 + F1 + F2, где F0^Ad, F1^ A>d, V-V0-^-V1, где W0^gs, V1 ? g>s, S>0. Тогда
F (х + V (X)) = F0 (X) + [F1 (X) + -gifo] + R', R' ? A>d+t.
Доказательство. Обозначим F0-\- F1 = F'. Имеем R' — = R1 +R2^ R3+ R1, где
dF'
R1 — F' (х -j- V (ас)) — F (х)--v ? А>л+s (по лемме),
dF
Rs = vi == LviF о 6 dF
R3 = -^-v = L*Fi Є A>d+t,
Ri = F2(x-j-v (x)) ^ A>d+S,
что и требовалось доказать.
12.6. Нормальная форма полуквазиоднородной функции. Рассмотрим локальную алгебру квазиоднородной или полуквазиоднородной функции / степени d. Зафиксируем какую-либо систему мономов, образующих базис этой алгебры.
Определение. Моном называется верхним или лежащим выше диагонали (соответственно нижним, диагональным), если он имеет степень больше d (соответственно меньше d, ровно (I) при данных показателях квазиоднородности.
Заметим, что числа верхних, диагональных и нижних базисных мономов не зависят от выбора базиса (см. п. 12.2).
Пусть ех, . . ., е3 — система всех верхних базисных мономов фиксированного базиса локальной алгебры функции /0.
Теорема (см. [9]). Всякая полуквазиоднородная функция с квазиоднородной частью /0 эквивалентна функции вида /0-f-+2cfcefc> z^e ck — константы.
Доказательство получается применением следующей леммы.
Лемма. Пусть /0 — квазиоднородная функция степени d, и пусть ех, . . ., ег — все базисные мономы фиксированной степени d' d в локальной алгебре функции f0. Тогда всякий ряд вида /0 +А, где порядок fx больше d, формальным диффеоморфизмом приводится к виду f0-\-f[, где в ряду f[ члены степени меньше d' те же, что в ряду fx, а члены степени d' сводятся к Cje1+. . . + +С..ег. § 12] КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 163
Доказательство. Обозначим через g сумму членов степени d' в Z1. Существует разложение (если угодно, с точностью до членов порядка выше d', но на самом деле и без них)
8 = 2 "Й" V*+ СА + ''' + так как ех, . . ., ег — базисные мономы. Векторное поле v, входящее в эту формулу, можно заменить однородным степени b=d' — —d > 0, не нарушая справедливости формулы (для доказательства достаточно разложить v на однородные составляющие).
Рассмотрим теперь формальную замену х=у—v(y). Докажем, что это формальный диффеоморфизм. Действительно, поле v имеет положительную степень 5, поэтому если занумеровать координаты в порядке убывания показателей а,-, то матрица Якоби замены в точке 0 будет треугольной, с 1 на диагонали. Применяя оценку п. 12.5, находим
/ (У -1.' (У)) = /о (У) + U1 (У) +
+ Ov1 (У) + -. • + CA (у)) - ? (У)1 + в' (у) (в старинных обозначениях). Поскольку порядок Rr больше d', лемма доказана.
Доказательство теоремы. Применяя лемму к функции /0 и мономам ближайшей более высокой степени d', мы приведем к желаемому виду члены степени d'. Применяя ту же лемму к получившемуся ряду /о+Z1 и мономам следующей степени d", мы, не меняя членов степени dud', приведем к желаемому виду члены степени d". Продолжая таким образом, мы добьемся нужной нормальной формы с точностью до членов сколь угодно высокой степени (и даже, если угодно, полностью приведем формальный ряд к формальной нормальной форме формальным диффеоморфизмом; это следует из того, что степени полей V, применяемых на разных этапах, растут).
