Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть X=(I)L1, . . ., а„) — набор положительных рациональных чисел, задающий тип квазиоднородности в пространстве С" с фиксированными координатами (X1, . . ., хя).
Алгебра Ли группы квазиоднородных диффеоморфизмов называется квазиоднородной алгеброй и обозначается через а (х). Например, о (1, l)=gt (2, С).
Определение. Носителем квазиоднородных функций степени d типа х называется множество всех целых неотрицательных точек т на гиперплоскости (т, <*) = d. Носитель называется полным, если он не принадлежит аффинному подпространству размерности меньше п — 1 в С".
Квазиоднородные функции можно рассматривать как функции, заданные на носителе (^amXm имеет в т значение ат). Все такие функции образуют линейное пространство Cv, где v — число точек носителя. Группа квазиоднородных диффеоморфизмов и квазиодно-родная алгебра а (а) действуют на этом пространстве Cv. Из определений непосредственно вытекает, что алгебра Ли а (а) порождается как ^-линейное пространство всеми мономиалъными полями хрд{, для которых (р, а) = af (здесь и далее 9,- = д[дх{). Например, п мономов XiBi принадлежат a (а) при любых «.
Определение. Корнями квазиоднородной алгебры а(х) называются все ненулевые векторы m пространства показателей, лежащие в плоскости (ш, х) = 0 и имеющие вид ш = р—Ii (где 1,. — вектор, у которого отлична от 0 только і-я компонента, равная 1, а вектор р имеет целые неотрицательные компоненты).
Иными словами, т — корень, если хрд( — мономиальное поле из a (а), отличное от х(д{.
Заметим, что і восстанавливается по корню т, так как у вектора m ровно одна отрицательная координата, mi = —1 (все компоненты ш не могут быть неотрицательными, поскольку (т, х) = 0).
Теорема А (см. [13]). Предположимs что носитель полон. Тогда действие алгебры Ли а (я) на пространстве функций на носителе однозначно определяется по классу аффинной эквивалентности пары (носитель, система корней). 174
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Теорема В (см. [13]). Квазиоднородная алгебра JIu а (я) определяется своей системой корней (как подмножеством линейного пространства, натянутого на корни) и своей размерностью с точностью до конечного числа вариантов.
Иными словами, если не различать алгебры, получающиеся одна из другой прямым сложением с тривиальной (коммутативной) алгеброй, то существует лишь конечное число неизоморфных алгебр Ли а (я) с линейно эквивалентными системами корней.
В нужных нам примерах это конечное число равно 1.
Замечания. Аффинные эквивалентности носителей и линейные эквивалентности систем корней в теоремах А и В не обязаны переводить в себя ни координатный симплекс т{ ^ О на плоскости (m, &)—d, ни решетку целых неотрицательных m в С". Группы квазиоднородных диффеоморфизмов и их орбиты в пространствах квазиоднородных функций в условиях теорем А и В не обязаны совпадать, однако связные компоненты орбит совпадают.
13.4. Доказательство теоремы В. Пусть M CZ Cr CZ С" — система корней алгебры а («), порождающая плоскость Cr в С (O^r^re—1). Сопоставим каждому корню mQM базисный вектор ет в Cv (где V — число корней). Рассмотрим г-мерное линейное пространство H = Нот (С, С) и прямую сумму b Я © С*.
лемма. В пространстве b = FI Qj c'' можно задать следующую структуру алгебры Ли:
(1) [A1, A2] = CbXVA1, A2 ? Н)\
(2) [А, ет] = (А, т) ет (VA 6 Я, mQM)\
(3) [emi, emJ = Nntli т,еті+пг„ где Ill1 -f-m2V= О,
Nntlt да, = 0, если Vtl1 -J- т2 не корень-,
= —max {X: Wi1-J-Xm2 — корень}, если этот максимум 1 ;
= -}-тах{Х: т2 -}- Xm1 — корень}, если этот максимум 1;
— ±1, если оба максимума = 1 (случай, когда оба максимума 1, невозможен);
(4) [ет, е_т] = Ат, где функция IimQH меняет знак при отражении С, сохраняющем M и переводящем т в —т, нормированная условием Aot (т) = 2 (такое отражение существует и единственно для любой пары противоположных корней).
Квазиоднородная алгебра Ли а (я) изоморфна прямой сумме алгебры Ли b (получающейся при некотором выборе знаков + в (3)) и тривиальной (коммутативной) алгебры:
§ 13] КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИИ
175
Доказательство леммы. Рассмотрим мономиальный базис а (*) над € и обозначим базисные мономы так:
Iii = XiCii, ет = XmXfdi
(і определяется корнем m однозначно). Покажем, что эти образующие удовлетворяют соотношениям коммутации (1)—(4).
Будем рассматривать дифференцирования Ai и ет как линейные операторы в пространстве всех функций на решетке Tn в (ком-плексифицированном) пространстве показателей Сн. Тогда hi есть оператор умножения на г-ю координату. Мы будем обозначать оператор умножения на функцию так же, как саму функцию. Итак,
(Ae) (к) = A (к) а (к), где k?Zn, a: In-* С.
Соотношение (1) доказано, так как умножения на функции коммутируют.
Обозначим через ат действие сдвига пространства Ch на т ? Ї" на функции:
(ата)(к) = а(к — т), где к Z", a:
Тогда em = OmAi. Вычисляя коммутатор умножения на линейную функцию и сдвига, получаем
[h, ат] — h (т.) от.
Отсюда сразу вытекает соотношение (2). Далее, вычисляя коммутатор ет, и ет,, получаем
