Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
! F Д. Н. Бернштейн, А. Г. Кушни-
Ie ! /t-2s-a-o+i=s^-.5-7*t-rj ренко и А. Г. Хованский получили
далеко идущие обобщения этой теоремы. В частности, число решений системы полиномиальных уравнений P1 (X1, . . ., Хп)=0, . . . ..., Р„(хг,..., хп) =0, для которых ни одна из координат Xs не равна нулю, равно умноженному на п\ смешанному объему Минковского выпуклых оболочек носителей многочленов Ps (для почти всех наборов многочленов Ps с данными выпуклыми оболочками носителей). Получены также аналогичные формулы, выражающие через геометрию многогранников другие числовые инварианты аффинных полных пересечений. Например, число голоморфных форм на гиперповерхности равно числу целых точек внутри выпуклой оболочки носителя (для почти всех гиперповерхностей с данной выпуклой оболочкой носителя). По поводу этих результатов см. [24], [85]—[87].
§ 13. Классификация квазиоднородных функций
Здесь описаны методы приведения квазиоднородных функций к нормальным формам посредством квазиоднородных диффеоморфизмов.
13.1. Квазиоднородные функции двух переменных.
Предложение. Всякая невырожденная квазиоднородная функция Jieyx переменных х, у коранга 2 содержит с ненулевыми коэффициентами либо мономы Xа и уь, либо ха и хуь, либо х?у и уь, либо х?у и уьх.
Доказательство. В противном случае функция делилась бы Hajr2 или на у2 и критическая точка 0 не была бы изолированной.
Теорема 1. Предположим, что на диагонали Г лежат ровно два монома невырожденной квазиоднородной функции двух переменных. Тогда в качестве базиса локальной алгебры можно выбрать следующую систему мономов:
Рис. 49. § 13] КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИИ
169
1 I V- Базисные мокомы xkyl
* +УЬ 1 1 а ' Ъ [а-і)(Ь-і) 0 < k < а — 2, ¦ 0 « I < b — 2
хау + у" b — i ab ' 1 ь (а — 1) b -}- 1 0 < a — 2, 0 « I « b — 1; X0"1
Xа у + у bX b— 1 ab — 1' а — 1 ab — 1 ab 0 sS A =S a — 1, 0 < I sS b — 1
(іфункцию f можно привести к указанному в таблице виду растяжением и перенумерацией координат).
Доказательство. Рассмотрим рис. 50. На этом рисунке заштрихована область мономов, попавших в идеал Ifx, jy). Тонкие косые линии — допустимые цепи (см. п. 12.7). Из рисунка видно, что каждый моном, не входящий в идеал, соединим с мономом из таблицы допустимым путем. Значит, табличные мономы порождают локальную алгебру. Но их число равно размерности локальной алгебры, вычисленной по формуле п. 12.3. Следовательно, они образуют базис, что и утверждалось.
Определение. Внутренней модальностью т0 квазиоднородной функции называется общее число диагональных и над-диагональных базисных мономов мономиального базиса локальной алгебры.
Теорема 2. Квазиоднородные функции двух переменных с т0=0 исчерпываются (с точностью до эквивалентности) следующим списком:
Ak Dk Es E1 I Es
X/C+1 yi xhj + і/H X3 + Vі X3 -)- Xy3 X3-IrUi
Все невырожденные функции с такими же показателями квазиоднородности приводятся к указанным в таблице нормальным формам. 170
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[гл. ii
Доказательство. Если второй дифференциал не равен тождественно 0, то функция эквивалентна Ak. Если коранг функции равен 2, то показатели однородности даются теоремой 1. Согласно п. 12.3 (обобщенная) степень базисного монома высшей степени равна dmaJC=ra—22а,=2—2 (?+?). Условие dmax < 1, эквивалентное условию Zra0=O, определяет на плоскости переменных (а, Ь) в каждом из трех случаев теоремы 1 область под гиперболой. Перечисление целых точек в этих областях дает серии A, D, E,
Сказанное станет, быть может, более понятным, если заметить, что классификация особенностей с Zra0=O сводится к перечислению прямых на плоскости, проходящих ниже точки (2, 2), пересекающих оси координат на расстоянии не менее 2 от 0 и содержащих целую точку с абсциссой, не превосходящей 1, и целую точку с ординатой, не превосходящей 1, в положительном квадранте. Ибо условие ^max 1 означает, что диагональ лежит ниже точки (2, 2). Легко проверить, что такие прямые исчерпываются (с точностью до переименования осей) нашим списком и что невырожденные квазиоднородные функции с такими же показателями квазиоднородности, как у функций A, D или E, приводятся к указанному в таблице виду.
Замечание. Классификация особенностей коранга 2 с mi}=1 сводится к перечислению прямых на плоскости показателей, проходящих через точку (2, 2) или выше ее, но ниже точек (2, 3) и (3, 2).
Обобщением этого замечания является следующее правило для вычисления внутренней модальности функции двух переменных.
Проведем из точки (2, 2) на плоскости показателей горизонтальный и вертикальный лучи в сторону увеличения показателей и рассмотрим многоугольник, ограниченный отрезками этих лучей и ломаной Ньютона.
Модальность, по-видимому, равна числу точек внутри и на границах указанного многоугольника для Г-невырожденных функций с данной диаграммой Ньютона Г (функция Т-невырождена, если кратность имеет наименьшее возможное при данной диаграмме Г значение).
А. Г. Кушниренко [136] доказал, что внутренняя модальность Y-невырожденной функции (число базисных мономов правильного базиса на Г и выше) действительно равна числу целых точек в указанном многоугольнике.
