Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
2) XYZ + YZ2 + XY2;
12*
^ v=o \ / у >'='\ \х=о \
/=о\ /
Рис. 53.
XYZ+YZ2+AXY2+BY2Z+CYb J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
3) XYZ + YZ2 + Y2Z; 4) XYZ + YZ2. Окончательный список квазиоднородных нормальных форм:
1) г + bzy2k+1 + yik+l, Ъ% ^= 4;
2) <р + х2у2к;
3) <Р + zy2k+\ 4) ср.
§ 14. Спектральные последовательности для приведения к нормальным формам
Здесь описан метод приведения к нормальным формам, основанный на спектральной последовательности, построенной по фильтрации комплекса Кошуля, определенного частными производными изучаемой функции. Мы не используем явно никаких свойств спектральных последовательностей или комплексов Кошуля, а не-посредственно доказываем все, что требуется для практических вычислений. Соответствие наших построений с обычными алгебраическими конструкциями описано в [14].
14.1. Построение последовательных приближений. Пусть / — ряд из А = С[[X1, . . ., хп]]- Рассмотрим алгебру Ли QI формальных векторных полей a = y^afildxs. Определим отображение А-модулей д: iQi-^-A формулой da=^iasdfjdxs. Мы вводим обозначения: If = Im д — градиентный идеал для /, Sf = Ker д — стационарная алгебра для /, Qf = A /If — локальная алгебра для /.
Ниже описад метод последовательных приближений для вычисления Sf и Qf. Зафиксируем тип квазиоднородности л = (а1? . . . .. ая), где веса OL1 натуральные. Индуцированные фильтрации в А и в Q! (см. § 12) будем обозначать через
A = A0ZD A1ZD--., Sl=D ... =DQL1=DQleZJQl1Z)
здесь Qli — {а ? Ql: аАр С А
Пусть / Q An. Тогда 9010аАц. Мы будем обозначать Ql0 через Ql+, An — через А*. Сужение д на Ql+ определяет отображение А-модулей д*: Ql+ —>A+. Мы вводим обозначения: I+j = Im д+ — верхний градиентный идеал для /, S^=Kerd+— верхняя стационарная алгебра для /, Qf = A+IIf — верхняя локальная алгебра для /. Для дальнейшего удобно определить фильтрации в А-модулях Ql+ и A+ следующим образом: Cip = lQlp при p^O, ар =OI0 при р <10, q$p = An+p при р ^ 0, q$p = An при р Отображе-
ние д+ уважает эти фильтрации: д*а С § 14]
спектральные последовательности
.135
Замечание. Наши последовательные приближения — это спектральная последовательность фильтрованного комплекса, дифференциал которого определяется последовательностью
О 21+ A+-^O.
Пусть г ^ 0, р ^ 0. Отождествим фактор-пространства S0p = = ap/'Qlp+1, Alip = а с пространствами квазиоднородных век-
торных полей степени р и многочленов степени N -J- р соответственно. Пространства S0p и A0p — это нулевые приближения к «р-компонентам» в А -модулях S+f и Q* соответственно. Следующие приближения Srp, Arp определяются ниже.
Пусть / = /0 4- Z1-J- . .. — разложение ряда на квазиоднородные составляющие степеней N, -ZV —f— 1, ...
Определение 1. r-е приближение к р-компоненте стационарной алгебры, Sp, есть пространство квазиоднородяых векторных полей Sp степени р, допускающих «продолжения» до вектор-многочленов sp -J- ... -J- Sptrj, удовлетворяющих системе г уравнений
sPfo = 0, Sj1 -J- sp+1f0 = 0, . .., spfr_t + . .. + sp+r_jf0 = 0.
Определение 2. «Дифференциал» dr действует на квазиоднородное поле Sp из Srp по формуле
drsP = spfr + ¦ ¦ • + SpJo mod Irprr,
где S4 удовлетворяют условиям определения 1, а Гр+Г определено ниже (при Г>0 МОЖНО ВЗЯТЬ Sjotr = O).
Определение 3. г-J-1-е приближение к р-компоненте градиентного идеала, Irp+1, определяется как множество всех квазиоднородяых многочленов степени N -J- р, представимых в виде sP-Jr ~Ь ¦ • ¦ ~f~ spf0, где квазиоднородные поля Sq указанных степеней удовлетворяют г условиям
Wo = sP Jl + sp-r+i/o = 0, • . ., Vr/r-1 + • • • + sP-IlO = 0
и принадлежат ^l+ (т. е. все Sg с q <^0 равны 0).
Определение 4. r-е приближение к р-компоненте локальной алгебры определяется как Arp= А°р[Гр (г 0).
Предложение. Имеют место равенства
S^ = Kevid". Srp-* A;+r), A^r = ArpJdrSrp.
Доказательство см. в п. 14.4.
Пример 1. d0: S0p A0p определяется равенством d°sp = spf0. Следовательно, I1p есть однородная N -J- /»-компонента градиентного J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
идеала квазиоднородной части /0 степени N функции / = /0-j-... Поэтому A1 можно отождествить с N -4- р-компонентой локальной алгебры Q квазиоднородной функции /0. Далее, S1p есть /»-компонента стационарной алгебры функции /0.
Пример 2. d} : S1p-* Агр+1 определяется равенством dlsp = = SpZ1 mod {sp+1f0), где spf0 = 0. Следовательно,
sI-isі spfo = 0, 3sp+1: Spf1=Sp^f0),
I*P = {*Pfо} +{Wi:Wo = 0>
(при p = 0 второе слагаемое исчезает).
Таким образом, при г = 0 и при г = 1 значение drsp дифференциала dr определяется как класс смежности многочлена spfr. Эта простая формула для дифференциала не сохраняется при больших г.
Пример 3. d?: Stp-* Агр+2 определяется равенством d?sp = — sPh + sp+ifi mod {sp+2f0) + [sp+1f{. sp+1f0 = 0}, где spf0 = 0, Spf1 +
+ Wo=O-
14.2. Теоремы о нормальных формах.
1°. Сходимость последовательных приближений. Теорема. Для каждого р^ 0 последовательности Srp и Ap при достаточно больших г стабилизируются: Srp = S™, Ap = A^. Предельные пространства Sp и Arp совпадают с пространствами начальных р-форм элементов верхней стационарной алгебры и верхней локальной алгебры для f:
