Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Отображение F называется квазиоднородным степени (I (типа а), если каждая компонента Fs является квазиоднородной функцией степени ds одного и того же типа а.
Локальной алгеброй отображения F называется фактор-алгебра
<?(Л = С[[*і. ---,XMFv Fn)-
Отображение F называется невырожденным, если его кратность в 0 конечна, т. е. если локальная алгебра Q (F) имеет конечную размерность над С; эта "размерность ft =dimc<? (F) называется кратностью отображения\F в точке 0.
Отображение F называется полу квазиоднородным, если F=F0+ +F', где F0 — невырожденное квазиоднородное отображение, и каждая компонента Frll имеет больший порядок, чем степень соответствующей компоненты Fo,. 154
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Если функция / нолуквазиоднородна степени d (типа ot), то отображение X (-* grad / (х) полуквазиоднородно степени ds =d—a.s.
Предложение 1. Утверждения п. 12.2 справедливы не только для градиентных отображений х к* grad / (х), для которых они выше сформулированы, но и для произвольных квазиоднородных и полуквазиоднородных отображений, к Например, все полуквазиоднородные отображения одинаковой степени d (и одного типа а) имеют одинаковые кратности р..
Замечай ие. Эти утверждения^справедливы над любым алгебраическим замкнутым полем (А. Г. Кушниренко [136]). В случае поля С доказательства проводятся таким же образом, как в п. 12.2.
|Р Значение класса квазиоднородных отображений для изучения квазиоднородных функций состоит в том, что в нем можно более свободно проводить гомотопии и делать замены переменных, чем в случае градиентов. В частности, следующее предложение (ср. [157]) позволяет простой подстановкой перейти от квазиоднородного отображения к настоящему однородному.
Предложение 2. Пусть F: СС" — квазиоднородное отображение, тип и степень которого имеют общий знаменатель N: OLa = AJN, ds = DJN; Aa, Ds, N—-целые. Рассмотрим отображение Т: <СВ-»СЯ, заданное формулой T (ylt .. ., у„) = (у^, . . ., yf»). Тогда:
1) Отображение FoT: С" —»С" имеет своими компонентами однородные в обычном смысле функции степеней D1, . . ., D3. РР) P(For) = P(F)ILlt.
[]3) Если ех, ..., е^ — мономиальный базис локальной алгебры
отображения F, то мономиальный базис локальной алгебры отображения Fo T [образуют функции
е'4,и = (Ге.)у^ ... у««, где 1 <*<!», 0<u,<4a.
Доказательство. 1) Моном хк определяет в s-a компоненте отображения Fo T моном Пу^« степени ^ksAa = N (к, х) = = Nds = D,.
і 2) Формула для кратности получается из рассмотрения системы уравнений (Fo Т) (у) = є относительно у.
3) Функции e'i, ы порождают всю локальную алгебру. Действительно, каждая функция от у представима в виде 9=2 УuT*fu,
и
а каждая функция от х — в виде <ри = 2 с<, Л + 2 ^A, «• Итак,
и, і и,в
т. е. е';> ц порождают Q(FoT). Поскольку число функций e'i<lt равно p. (FoT), они образуют базис. Предложение 2 доказано. і 12] КВАЗЙ- И ЙОЙУКВАЗЙОДЙОРОДЇШЕ ОСОБЕННОСТИ 155
Определение. Многочленом Пуанкаре полуквазиоднородного отображения F (где a.s=As/N, AaViN — целые) называется многочлен pF(t) = 2 Sj-;^ гДе Jj-і — число базисных мономов локальной алгебры отображения F, имеющих квазистепень i/N.
Заметим, что даже при фиксированном типе квазиоднородности р зависит еще от целого числа N. Впрочем, все возможные значения N кратны одному — наименьшему общему знаменателю дробей as и pF.kN — PF. V *(fft)- Размерность локальной алгебры дается формулой p — pF( 1). Степень многочлена pF—это наивысшая из (умноженных на N) квазистепеней мономиальных образующих базиса локальной алгебры.
Теорема (ср. [9], [30], [161]). Многочлен Пуанкаре (полу)-квазиоднородного отображения F степени dmuna х, для которого Ois = AJN, ds = DJN; As, Dt, N — целые, дается формулой
Л A_i
^w=Hkn-
Пример. Если F=Igrad /, где / — (полу)квазиоднородная функция типа а (степени 1), то
,'V ^-iS — і
S=I t ' - 1
Из теоремы непосредственно вытекает несколько полезных формул.
Следствие 1 (ср. [9], [30], [157]). Размерность локальной алгебры полуквазиоднородного отображения дается «обобщенной формулой Безуъ'.
п j
P = Il^.
S=I aS
Следствие 2 ([9], [168]). Локальная алгебра полуквазиоднородного отображения F имеет ровно один базисный моном (кваз и)степени
п
dm«=2 О*, —«,);
S=I
все мономы более высокого порядка принадлежат идеалу, порожденному компонентами (F1, . . ., F^j.
Рассмотрим, в частности, локальную алгебру полуквазиодно-родной функции / типа (Qt1, . . ., а„) степени 1. В этом случае ds= 1 — а3, и мы получаем 167
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Следствие 3 (ср. [93, [30], [157]). Размерность локальной алгебры полуквазиоднородной функции f типа (?, . . ., ап) степени і дается формулой
Следствие 4 (см. [9], [168]). Мономиальный базис локальной алгебры полуквазиоднородной функции f типа (ах, . . .,ап) степени 1 имеет ровно одну образующую (обобщенной) степени ^max =2 (1—2aa); все мономы более высокой степени принадлежат идеалу (дJZdx1, . . ., df/dxn).
