Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
13.2. Квазиоднородные функции трех переменных. Невырожденные квазиоднородные функции трех переменных делятся на семь (пересекающихся) классов.
Предложение (см. [9]). Всякая невырожденная квазиоднородная функция степени 1 от трех переменных коранга 3 содержит с ненулевыми коэффициентами (при подходящей нуме- § 13] КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИИ
171
рации переменных) хотя бы один из семи наборов мономов, указанных в следующей таблице:
Класс I Мономы «1. «I, «3 V-
I Xа, уЬ, Zc 1 а 1 1 T' с (в — і) (o — 1) с- — 1)
II Xа, уь, zcy 1 а 1 b — 1 b ' bc (а —1) (6с —6 +1)
III ъ 1 a — 1 a — 1 (ab — a -J- 1) (ас — a -J- 1)
а ab ' ас а — 1
IV Xа, ybZ, Zcу 1 а с — і b — 1 bc — і' bc — 1 (a-i)bc
V Xа, ybZ, ZcX 1 а ас — я-|-1 а — 1 abc ' ас- ас (b — 1) -J- а — 1
VI Ъ -1 а — 1 (а —1)0 a (abc — с — ab -\-Ь)
X У, у X, ZcX ab — V ab — V (ab —і) с а — 1
VII хау, ybz, ZcX be — с + 1 ас — a-j- 1 ab — b -J- 1 abc -]- 1 ' a'oe -}- 1 ' abc -J- 1 abc
Доказательство. Начало классификации проходит при любом числе переменных X1, . . ., хп. Зафиксируем номер і координаты хг При отсутствии всех мономов вида x?xj ось Xi состоит сплошь из критических точек. Поэтому в пространстве показателей на расстоянии не более 1 от каждой оси координат есть показатель присутствующего монома. Выбрав по одному такому моному близ каждой оси (что возможно, так как второй
о \ЛA s\ А А А
/ // ш rv і/ vi v/j
Рис. 51.
дифференциал =0), мы получаем отображение і >-> / множества осей координат в себя. Таким образом, мы должны расклассифицировать отображения конечного множества в себя. При ге=3 это нетрудно сделать. Множество из трех точек имеет семь эндоморфизмов (не переводящихся друг в друга перенумерацией точек) (рис. 51), что и дает семь классов, указанных в таблице.
Предложение. 1) Невырожденная квазиоднородная функция класса III существует, если и только если наименьшее общее кратное [Ъ, с] чисел Ъ и с делится на а—1.
2) Невырожденная квазиоднородная функция класса VI существует, если и только если (Ъ—1) с делится на произведение а—1 и наибольшего общего делителя (Ъ, с) чисел Ъ и с. 172
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
3) Невырожденные квазиоднородные функции остальных пяти классов существуют при любых а, Ъ, с.
Доказательство. Для доказательства утверждения 3) достаточно сложить указанные в таблице мономы. Для доказательства утверждений 1) и 2) заметим, что если квазиоднородная функция класса III или VI не содержит ни одного монома ypzq (р^ О, q ^ 0), то она вырождена. Действительно, нулевое множество уровня состоит в этом случае из двух компонент (одна из них — плоскость х=0). Значит, критическая точка не изолирована (множество критических точек содержит линию пересечения компонент) и функция вырождена.
Обратно, легко проверить, что квази однородная функция
III: ха + хуь + xze -J- sypz9 или VI: хау -J- уьх -J- z°x -(- &ypzq
при почти всех є невырождена.
Остается доказать, что диагональный моном вида ypzq существует в точности при указанных выше условиях делимости.
В случае III обобщенная степень монома у pZq равна (pc-*rqb) (а—1 )1аЪс. Моном ypzq диагональный, если и только если эта степень равна 1, т. е. если (pc+qb)(a—1)=(а—1) bc+bc. Следовательно, be делится на а—1, а частное (равное pc+qb—be) делится на (b, с). Иными словами, be делится на произведение а—1 и (6, с), т. е. Ib, с] делится на а—1.
Обратно, пусть [6, с] кратно а — 1. Тогда число ^—j = be -J- —j
целое и делится на (Ь, с). Но каждое число, большее be и кратное (Ь, с), представимо в виде pc-\-qb (p^O, 0)*). Поэтому abc'j(a — 1) = рс + qb и моном ypzq диагональный.
В случае VI условие диагональности имеет вид
(а — 1) (рс + qb) = (а — 1) be -J- (b — 1) с.
"Поэтому (6 — 1) с делится на произведение (а—1)(6, с). Обратно, если (6—1)с делится на (а — 1)(6, с), то be -J- ^3 с представимо в виде рс -J- qb, где р ^ 0, q^ 0, что и требовалось доказать.
Примером невырожденной функции класса III является х7-f-+хуг+х&+ва?у2, класса VI — х*у+ху*+хг*+еа?у2.
Замечание. Наши результаты позволяют легко перечислить (полу)квазиоднородные особенности внутренней модальности то=0 или 1 (см. [9]). Из получающихся списков видно, что в этих случаях внутренняя модальность совпадает с обычной.
*) Действительно, на прямой [р, q: pc+qb=bc} имеется не менее двух целых точек в квадранте р > 0, q > 0 (точки (Ъ, 0) и (0, с)). На параллельной прямой PCjTqb=Tn > be расстояние между целыми точками такое же. Поэтому уже при т. > (Ь—1) (с—і) на отрезке прямой рс+дЬ=то в пределах того же квадранта есть целая точка. § 13] КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИИ 173
Для (полу)квазиоднородных функций большей модальности, А. Г. Кушниренко и А. М. Габриэлов [40] доказали совпадение модальностей для (полу)однородных функций. Внутренняя модальность т0 не больше обычной: т0 ^ т. А. Н. Варченко (1981) доказал, что т0=т.
13.3. Нормальные формы полуквазиоднородных функций. Для приведения квазиоднородных функций к нормальным формам нужно классифицировать орбиты действия группы квазиоднородных диффеоморфизмов на пространствах квазиоднородных функций. Вычисления основаны на двух общих теоремах о квазиоднородных функциях (теоремы А и В ниже). Для формулировки этих теорем введем некоторые определения и обозначения.
