Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, слагаемое ах3ук+1 в нормальной форме не влияет на последовательные приближения, откуда вытекает утверждение леммы.
Лемма 3. При г = 2i, р^Ак имеет место равенство drSrP = = А и, следовательно, dq = 0 при q 2г. § 14]
спектральные последовательности
.135
Доказательство. По лемме 2 drSlk Z) С [у<р]. Но и<р == = (—4ж2 -(- 2у2к+1) с0уікь1+і, где C0=^O. Далее, x2yik+l Поэтому
C[i;cp] = C[z/6fc+a+i] = ^Tft+r. Итак, drSrik = Arik+r. Умножая на подходящую степень у, получим требуемое при P Ъ> 4/с.
Теорема W вытекает теперь из теорем ВТ2( и СТ.
14.4. Доказательства.
1°. Из определения 1 видно, что Srp уменьшается с ростом т. tS^+1 CI Srp. Но Sp конечномерно. Значит, Sp стабилизируется при г —* оо.
2°. Из определения 3 видно, что Irp растет с ростом г. Но Irp — подпространство в конечномерном пространстве квазиоднородных многочленов степени Nр. Значит, Irp стабилизируется при Г -* 00.
3° Из определений 2 и 1 видно, что сумма в правой части формулы для drsp определяется с точностью до прибавления к s? Р) слагаемых ад, удовлетворяющих условиям
Vi-jO = 0, iViZi + аР+Jo = О. • • •. ViZr-2 + • • • 4- Vr-i/o —
Указанная сумма при прибавлении о? к Sj увеличивается на слагаемое ViA--I ""Ь" • • ¦ + ap+rfo- Это слагаемое принадлежит 1Р+Г по определению 3. Следовательно, отображение dr: Sp —Ар+Г определено корректно.
4°. Докажем, что Srp1 = Ker(dr: Sp—>Arp+r). Из определения 1 видно, что Sr^1 состоит из тех элементов sp из Srp, для которых можно выбрать sg (q р) так, чтобы удовлетворить, кроме уравнений, определяющих Sp, еще одному уравнению spfr-j- ... ... -f- SpirZ0 = 0. Но существование таких Sq эквивалентно условию spfr —... + SpJ0 (51р~г для любого выбора s?, удовлетворяющих уравнениям, определяющим Srp (см. 3°). Поэтому Sp Є Sr*1 о odrsp = 0, что и требовалось.
5°. Докажем, что I^ — drSp modIpbr. Из определения 3 видно, что состоит из однородных многочленов степени N -j- р -f- г, допускающих представление
а = Spfr+ ••• + Vr/o> где Spf0 = Ot
sPfi + sp+ifo = 0» • • •. spfr-1 + •••-+- sp+jo = 0. Это линейное пространство содержит Irp+r = (о = 5р+1/г_г -j- . • • ... + s^+r/0: ViZo = 0, S^1Z1 + VaZo = O, ..., Sjrtl/,.+ ... ... + Vr-i/o = 0}, так как можно взять Sp = 0. Сравнивая определения Гр+r и Zр+і-, мы видим, что во второе пространство входят многочлены, представимые в виде суммы из определения drsp, и, С ТОЧНОСТЬЮ ДО Irvjrf, ничего другого.
Тем самым доказано предложение из п. 14.1.
6°. Докажем, что приближения к р-компоненте стационарной алгебры сходятся именно к ней: <? =° = (S+/ П -1)/( S} Г) J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
Лемма. Если sp ? Srp при всех г, то существует формальный ряд S = Sp-j- ... такой, что Sf= 0.
Доказательство леммы. Согласно определению = ((а, Г) + ар+1)1ар+1.
Следовательно,
n = {{ар n (n ^p+r)) + ap+l) /ар+1.
Но П = сГ1 П -Mpir = ^T1O. Поэтому = +
г г г
~f~ ар+і)!ар+і' и лемма доказана.
Обратно, если sf = 0, то Sp принадлежит Srp при всех г, что и доказывает утверждение 6°.
7°. Докажем, что приближения к р-компоненте локальной алгебры сходятся именно к ней;
А™ с^ ^pIKoJp П IJ) + MpilI
Действительно, если ар является начальной р-формой г-го приближения к положительному градиентному идеалу, то эта же форма является начальной для легко определяемого элемента настоящего положительного градиентного идеала. Обратно, начальная р-форма ар любого элемента положительного градиентного идеала имеет представление
(s0+ ...)(/„+ ...) = о,+ ...
и, следовательно, входит в (и даже в /|+1).
Тем самым доказана теорема о сходимости из п. 14.2. 8°. Доказательство теоремы Tr p, 0. Нужно доказать,
что N -J- р-квазиструи [/] mod Mpil,' [f + <рmod Mpil переводятся друг в друга формальной заменой переменных неотрицательного порядка y = x-\-g (x), I.g/J/dxs ? ар_г, если [<pp]6-^+1- Последнее условие означает, что существует разложение <рр = sp_rfr -j- . .. .. • -J- spfо, где квазиоднородные поля Sq неотрицательного порядка удовлетворяют г условиям
Sp-J0 — О, .. ., Sp_rfr_г -J- ... + sр-1 to = о.
Указанное разложение fp и условия на Sq зависят лишь от членов /0, ..., fr разложения / и не зависят от следующих членов. Рассмотрим однопараметрическое семейство N -J- /мсвазиструй
F (t) = [f + tf р] mod ^ р+,, 0<*<1.
Поскольку р^>г, разложение F (t) при любом t на квизиодно-родные по X составляющие начинается со слагаемых /0 -J- ... -J- fr, § 14]
спектральные последовательности
.135
не зависящих от t. Поэтому пространство квазиоднородных многочленов Irpl, построенное по F(L) при любом t, одной то же.
Определим векторное поле s в окрестности точки 0?СИ формулой s = sp_r -f- ... sp. Тогда при любом t производная N —j— ja— квазиструи F (t) по направлению поля s равна
sF (t) = [(Sp^ + .. . + sp) (Z0 + . .. + fp + *<pp)] mod cdp+1 =
= IsP-Jо + • • • + [Sp-Jr + • • • + Vo)] mod c^P^ ~ W mod g^p+
(здесь важно, что p^>r; при p = r слагаемое ?<p влияло бы на sF(t)).
Поле s в точке OfC" обращается в 0, так как s ? ар_г. Поэтому фазовый поток поля s определен в достаточно малой окрестности точки O^Cb при всех t из отрезка Преобразование этого
