Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, например, серии А и D, образованные орбитами ростков Ak: f(x, у) = xk+1 -J- У2, Dk: f(x, у) = а?у -j-yfc_1. Классы Ak, Dk примыкают друг к другу так*):
A1* A2* A3" А 4~- ...
1 I
D4-D5+-...
Ясно, что в приведенном примере имеются две серии, А и D. Каков, однако, формальный смысл этого утверждения и выходит ли оно за рамки произвольных наименований?
Определить серию А — значит научиться обращать стрелки примыканий так, чтобы от Ak идти к Ак+1, не сворачивая к Dk+1. В данном случае это нетрудно сделать (особенности А имеют ко-ранг второго дифференциала ^ 1). В более сложных случаях также удается сформулировать правила обращения стрелок (в каждом случае свои). В результате возникают серии с одним или несколькими индексами (например, трехиндексная серия T1. ^m = OXyzjTXk-^y1 + z'n), причем функции серии могут зависеть от параметров.
Как ті в разобранном примере серий A, D, во всех случаях, поело того как серия найдена, можно дать ее определение. Однако
*) Класс исошмшоотей L примыкает, к классу К (обозначение: К L). если всякая функция f ? L может быть сколь угодно палым шевелением про-дефі>р\шровлл;і и Функцию класса К. J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
поля а наименьшей квазистепени q. Квазистепени всех квазиоднородных компонент ряда af, кроме aqfQ, больше квазистепени многочлена а?/0. Если q <^0, тп п ^0 =T^ 0 по условию С. Следова-
и Qiy, что и требовалось доказать.
§ 15. Списки особенностей
В этом параграфе описано начало иерархии классов особенностей голоморфных функций.
15.0. Предварительные замечания.
1. Нормальные формы.
Классом особенностей называется подмножество пространства ростков (или струй) функций в 0, инвариантное относительно действия группы диффеоморфизмов пространства-прообраза, сохраняющих 0. Примерами классов особенностей являются орбиты. Два ростка (две струи) называются эквивалентными, если они принадлежат одной орбите.
Другим примером класса является страт р. =const. Кратностью (числом Милнора) р. критической точки OfC" функции / называется индекс особой точки 0 векторного поля grad /. Страт p-=Const для/определяется как содержащая / связная компонента пространства ростков с фиксированной кратностью ц в 0. Две функции одного страта fi =Const называются ^-эквивалентными.
Чтобы определить нормальную форму, рассмотрим пространство многочленов M=С [^1, . . .,?] как подмножество в пространстве ростков функций f (хг, . . ., ха) в 0.
Нормальная форма для класса функций К задается гладким отображением Ф: В —> M конечномерного линейного пространства параметров В в пространство многочленов, для которого выполнены три условия:
1) Ф (В) пересекает все орбиты из К;
2) прообраз каждой орбиты в В конечен;
3) прообраз всего дополнения к К содержится в некоторой собственной гиперповерхности в В.
Нормальная форма называется полиномисигьной (соответственно аффинной), если отображение Ф полиномиальное (соответственно линейное неоднородное). Аффинная нормальная форма называется простой, если Ф имеет вид
где ф0 — фиксированный многочлен, Ь( — числа, а Xті — мономы. (В приложениях многочлен Cp0 обычно сам «прост», т. е. является суммой небольшого числа мономов.)
Существование единой нормальной формы (хотя бы полиномиальной) для всего CTpaTap-=ConstoTHroflb не очевидно a priori.
тельно, q<C 0 противоречит
Значит, q^ 0, т. е.
Ф(6Х, .. ., br) = <fo + b-Ipcm 1 -f- .. . 4- ЬгXrn-, § 15]
СПИСКИ ОСОБЕННОСТЕЙ
189
Удивительным выводом из наших вычислений является существование таких нормальных форм для всех особенностей нашего списка (стало быть, в частности, для всех особенностей с числом модулей 1 и 2). Большинство наших нормальных форм — простые формы; вероятно, все особенности списка имеют простые нормальные формы. Неизвестно, насколько обширен класс функций, для которых страт jj. =Const допускает простую (или хотя бы полиномиальную) нормальную форму (этот вопрос естественно относить к классам стабильной эквивалентности). J. Wahl и В. А. Васильев [32] указали пример страта ^=const, не допускающего аффинной нормальной формы: ему принадлежит
/=^y2 (х+у)*(х+2у)2+х*-у\
2. Серии особенностей. В списке особенности разбиты на серии, обозначенные заглавными буквами (мы используем светлые буквы A, . . .,Zc различными индексами для обозначения стратов p-=Const и полужирные буквы A, ...,Zc индексами или без них для обозначения классов особенностей, являюхцихся объединением стратов p-=COnst). Хотя серии, несомненно, существуют, не совсем понятно, что такое серия особенностей.
Рассмотрим, например, серии А и О, образованные орбитами ростков A1;. f(x, у)-=хк+х-\-у2, Dk: f(x, у) = ofiy + ук~х. Классы Ak, Dk примыкают друг к другу так*):
А.*—А —A-,"—А л*—...
I i
Ясно, что в приведенном примере имеются две серии, А и I). Каков, однако, формальный смысл этого утверждения и выходит ли оно за рамки произвольных наименований?
Определить серию А — значит научиться обращать стрелки примыканий так, чтобы от Ak идти к Akjrl, не сворачивая к Dk±1. В данном случае это нетрудно сделать (особенности А имеют ко-ранг второго дифференциала ^ 1). В более сложных случаях также удается сформулировать правила обращения стрелок (в каждом случае свои). В результате возникают серии с одним или несколькими индексами (например, трехинденсная серия T,^ ¦tm=axyz-srxkjry!jrzm), причем функции серии могут зависеть от параметров.
