Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
потока за время Z=I определяет р-струю локального диффеоморфизма, переводящего F(O) в Zr(I) и вида у = х + g (х), ZgkSIdxk ? йр_г. Этот диффеоморфизм искомый.
9°. Доказательство теоремы Tr, г ^>0. Будем последовательно пользоваться теоремами Tri r+1, Tr< r+2, .. . для приведения к нормальной форме членов (квази)степени N -{- р, где р — г -j- 1, г -f- 2, ... При этих операциях первые r-f-1 членов разложения Z = Z0 +•• • fr-{- . . .неменяются. Следовательно, при нормализации членов указанных (квази)степеней не меняются пространства I^1 и Ap+1. Поэтому к полученному после первой замены (замены теоремы Trt г+1) ряду применима вторая теорема и т. д.
Полученная последовательность формальных замен переменных сходится, так как члены каждой фиксированной степени стабилизируются (ибо у — X ? a s теореме Trt р). Предельная формальная замена — искомая.
10°. Доказательство теоремы ВТ. Пусть р =. г 1, / удовлетворяет условию В. Докажем теорему Tr r. Полагая р = г в доказательстве теоремы Trt р из п. 8°, получим
<Pr = So/r+ • • • +S J0,
где Sq удовлетворяют Г условиям S0Z0 = 0, s0Z1 -J- s1Z0 = 0, . . . ..., S0Z^1-T- ... +Sf^1Z0 = O. Но S0 = O согласно условию В. Следовательно, ни разложение <рг, ни условия на Sj не зависят ОТ Zr (но лишь ОТ /„, . . ., Zr-l)' Поэтому и при р = г пространство Ip+1, построенное по F (t), не зависит от t. Оставшаяся часть доказательства теоремы Trt г такая же, как конец доказательства теоремы Тг> при р~^>г (п. 8°).
11°. Доказательство теоремы СТ. По определению Zz = -Il+/, If==iZlf. Поэтому IfCZlf и If CI G^0- Следовательно, IfClIf Mo-
Докажем обратное включение. Пусть и (< IfF) Тогда « = а/, а Рассмотрим ненулевую квазиоднородную компоненту ач J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
поля а наименьшей квазистепени q. Квазистепешх всех квазиоднородных компонент ряда а/, кроме а?/0, больше квазистепени многочлена agf0. Если д <^0, тп п. f0^L Q по условию С. Следова-
и?1}, что и требовалось доказать.
§ 15. Списки особенностей
В этом параграфе описано начало иерархии классов особенностей голоморфных функций.
15.0. Предварительные замечания.
1. Нормальные формы.
Классом особенностей называется подмножество пространства ростков (или струй) функций в 0, инвариантное относительно действия группы диффеоморфизмов пространства-прообраза, сохраняющих 0. Примерами классов особенностей являются орбиты. Два ростка (две струи) называются эквивалентными, если они принадлежат одной орбите.
Другим примером класса является страт р. ==const. Кратностью (числом Милнора) ;л. критической точки 0 ? С" функции / называется индекс особой точки 0 векторного поля grad /. Страт jj.=Const для/определяется как содержащая / связная компонента пространства ростков с фиксированной кратностью р в 0. Две функции одного страта (j. =Const называются (л,-эквивалентными.
Чтобы определить нормальную форму, рассмотрим пространство многочленов M=С [X1, . . .,хп] как подмножество в пространстве ростков функций / (X1, . . ., хп) в 0.
Нормальная форма для класса функций К задается гладким отображением Ф: В —> M конечномерного линейного пространства параметров В в пространство многочленов, для которого выполнены три условия:
1) Ф (В) пересекает все орбиты из К;
2) прообраз каждой орбиты в В конечен;
3) прообраз всего дополнения к К содержится в некоторой собственной гиперповерхности в В.
Нормальная форма называется полиномиальной (соответственно аффинной), если отображение Ф полиномиальное (соответственно линейное неоднородное). Аффинная нормальная форма называется простой, если Ф имеет вид
где CP0 — фиксированный многочлен, Ьі — числа, а зст* — мономы. (В приложениях многочлен ср0 обычно сам «прост», т. е. является суммой небольшого числа мономов.)
Существование единой нормальной формы (хотя бы полиномиальной) для всего CTpaTafJi-=ConstoTHroflb не очевидно a priori.
тельно, q<d 0 противоречит
Значит, q ^ 0, т. е. а ? ч21+,
ф (К •-•¦> К) = tPo-j- bIxmi + • • • + brxmr, § 15]
списки особенностей
189
Удивительным выводом из наших вычислений является существование таких нормальных форм для всех особенностей нашего списка (стало быть, в частности, для всех особенностей с числом модулей 1 и 2). Большинство наших нормальных форм — простые формы; вероятно, все особенности списка имеют простые нормальные формы. Неизвестно, насколько обширен класс функций, для которых страт р.=Const допускает простую (или хотя бы полиномиальную) нормальную форму (этот вопрос естественно относить к классам стабильной эквивалентности). J. Wahl и В. А. Васильев [32] указали пример страта р. =const, не допускающего аффинной нормальной формы: ему принадлежит
/=*У (х+у)2(х+2у)*+х9-у*.
2. Серии особенностей. В списке особенности разбиты на серии, обозначенные заглавными буквами (мы используем светлые буквы A, . . .,Zc различными индексами для обозначения стратов ^=Const и полужирные буквы A, ...,Zc индексами или без них для обозначения классов особенностей, являющихся объединением стратов р. =const). Хотя серии, несомненно, существуют, не совсем понятно, что такое серия особенностей.
