Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 82

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 129 >> Следующая


Ріак и в разобранном примере серий A, D, во всех случаях, после того как серия найдена, можно дать ее определение. Однако

*) Класс осоіиміїїостей L примыкает, к классу К (обозначение: К*- L), если всякая функция /? L может быть сколь угодно малым шевелением про-дефорхшровапа із функцию класса К. J 90 КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II

общее определение серии особенностей неизвестно. Ясно лишь, что серии связаны с особенностями бесконечной кратности (например, D ~ х2у, T ~ xyz), так что иерархия серий отражает иерархию неизолированных особенностей.

3. Периодичность. Разбиение многих классов особенностей на страты p.=const обнаруживает своеобразную периодичность, которую можно описать следующим образом. Вся стратификация (разбиение) представляет собой цепочку одинаковых фрагментов (зверей). Каждый зверь состоит из точек (стратов), две из которых (голова и хвост) отмечены. Кроме головы и хвоста зверь может содержать соединяющие их стрелками примыканий страты и конечности (серии бесконечной длины). Голова каждого зверя примыкает к хвосту предыдущего.

Например, стратификация особенностей коранга 2 с 3-струей Xs дается цепочкой зверей, каждый из которых состоит из пяти точек и одной бесконечной ноги

(Jlc в списке).

Причина периодичности в общем случае не ясна. Частичное объяснение удалось получить лишь для квазиоднородных особенностей с помощью техники, близкой к веерам Энриквеса—Дема-зура (см. [107]).

Периодичность проявляется, однако, не только при приведении к нормальным формам квазиоднородных функций, но и во всех вычислениях, связанных с классификацией (так что фактически для всех вычислений достаточно рассмотреть лишь одного зверя из цепочки).

Как и существование серий, периодичность наводит на мысль, что в множестве стратов имеется какая-то алгебраическая структура.

Д. Сирсма [172] указал на связь периодичности с разрешением особенностей: сдвиг на период соответствует одному о-процессу. К сожалению, из этого замечания не удалось вывести периодичность упомянутых выше вычислений.

4. Классы малой модальности. G точки зрения приложений важнейшей характеристикой класса особенностей является его коразмерность с в пространстве ростков функций с критической точкой 0 и критическим значением 0.

Действительно, функция общего положения имеет лишь особенности коразмерности с=0 (невырожденные). Вырожденные особенности появляются неустранимо лишь в случае, когда рассматривается семейство функций, зависящих от параметров. § 15]

списки особенностей

191

При этом класс коразмерности с неустраним малым шевелением лишь в случае, когда число параметров I^c.

Таким образом, в приложениях всегда нужно исследовать все классы до коразмерности I (т. е. такие классы, что дополнение к их объединению имеет коразмерность больше I). Эту задачу не следует смешивать с задачей классификации особенностей с коразмерностью орбиты I (т. е. с р. Z+1). Последняя задача в приложениях встречается лишь как средство решения первой.

G топологической точки зрения важнейшей характеристикой особенности является кратность критической точки, (і (равная числу простых критических точек, на которые сложная точка распадается при малом шевелении).

Неожиданным выводом из проведенных вычислений является то, что алгебраически наиболее естественные результаты получаются не при классификации классов особенностей до определенной коразмерности с или кратности jj., а при классификации классов особенностей малой модальности т.

Модальность т равна размерности страта р. =Const в базе мини-версальной деформации без 1 (см. [42]). Поэтому коразмерность с CTpaTafi=ConstB пространстве ростков функций с критической точкой О и критическим значением 0, кратность jj. и модальность т связаны соотношением

fj. = с -j- т 1.

В настоящее время полностью расклассифицированы:

(1) все особенности, для которых с ^ 10;

(2) все особенности, для которых и. ^ 16;

(3) все особенности, для которых т 2.

Особенности с числом модулей т—0, 1 и 2 называются соответственно простыми, унимодальными и бимодальными. Их списки приведены ниже. Анализ полученных списков показал, что

1) простые особенности классифицируются в точности по группам Кокстера Ak, Dk, E6, E7, E8 (т. е. по правильным многогранникам в трехмерном пространстве);

2) унимодальные особенности образуют одну бесконечную трехиндексную серию Ти 14 «исключительных» однопараметриче-ских семейств, порожденных квазиоднородными особенностями.

Квазиоднородные унимодальные особенности получаются пз автоморфных функций, связанных с 14 замечательными треугольниками на плоскости Лобачевского и с тремя замечательными треугольниками на обычной плоскости точно таким же образом, как простые особенности связаны с правильными многогранниками (см. [52]—[54]).

3) Бимодальные особенности образуют 8 бесконечных серий и 14 исключительных двупараметрических семейств, порожденных квазиоднородными особенностями. J 90

критические точки гладких функциЙ

[гл. ii

Квазиоднородные бимодальные особенности связаны с 6 типами четырёхугольников и 14 треугольниками на плоскости Лобачевского (в последнем случае следует рассматривать автоморф-ные функции с факторами автоморфности, соответствующими накрытиям с числом листов 2, 3 и 5) (см. [531).
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed