Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, алгебра а (а) порождена над С мономами XiBi и ог,"гх^{(т). Образы полей ^fiX Jdi в S — это операторы умножения на всевозможные аффинные функции в плоскости носителя. Образы полей XmXfdt(^m) — это операторы ет, определяемые геометрией носителя и корней. Следовательно, ф*Єф(т) = ет'Ь*, и, значит, 6 индуцирует изоморфизм 1F:. ср (аа) —> <? (CJ1).
Ядро гомоморфизма алгебр Ли а (я) <§ есть 0.
Действительно, пусть (A -j- ^сгпе,„) а = 0 для всех функций а. Выберем точку к, где все hfm отличны от 0, и применим h -J-к функции Sfc, равной 1 только в 1с. Получим h (k) ак -J-+ 2c«Am (Je)5fc+m = 0, откуда ст = 0 и h(к) = 0. Следовательно, h Se 0. Итак, алгебра Ли сра (ас) изоморфна алгебре а (я).
12 В. И. Арнольд ¦ др. J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
V
Изоморфизмы Ct2-^tp(Ct2)—* <р (Ct1) —Ct1 показывают, что как алгебры Ли Q1 и а2, так и их действия на пространствах функций на I^1 и S2 изоморфны. Теорема А доказана.
Следствие 1. Пусть набор весов а и степень d таковы, что существует квазиоднородная функция с изолированной критической точкой 0 с нулевой 2-струей. Тогда система корней и носитель однозначно определяют алгебру Ли а (я) и ее действие <р.
Доказательство. При сделанных предположениях носитель полон. Действительно, из изолированности вытекает, что при каждом г имеется моном вида (/? (1, . . ., п) и по условию
Cii 1). Покажем, что показатели этих п мономов, принадлежащие носителю, линейно независимы. Система уравнений z -(i) -f- aizi относительно z имеет при 1 только нулевое решение (в чем легко убедиться, рассматривая циклы эндоморфизма конечного множества, і >-»¦;'). Следовательно, определитель ее матрицы не О, и, значит, наш носитель полный. Теперь утверждение следствия вытекает из теоремы А.
Следствие 2. Пусть j: С"-1—>ClT1 — аффинный изоморфизм плоскости полного носителя S1 в плоскость полного носителя S2, переводящий S1 в часть S2, корни алгебры Ct1 — в часть корней алгебры а2 и базы корней H1 — в часть баз соответствующих корней а2. Тогда у индуцирует изоморфизм действия <р алгебры аг на функциях на S1 и действия подалгебры алгебры а2 на пространстве функций на S2, равных нулю вне у (S1).
Доказательство. Указанная подалгебра порождена над € операторами h умножения на все аффинные функции и операторами ет, где m — образ корня первой алгебры. Действия ет определены корнями и базами и потому коммутируют с действием у.
Следствие 3. Пусть в условиях следствия 2 в носителе S1 отмечено несколько точек и в них фиксированы значения функций. Все функции на S1 с фиксированными значениями в этих точках образуют аффинную плоскость P в пространстве функций на S1. Пусть Ctp — стационарная алгебра этой плоскости Р. Тогда изоморфизм Y следствия 2 индуцирует изоморфизм действия ар на P с действием некоторой подалгебры алгебры Ли а2, сохраняющей плоскость у"1*P в пространстве функций на S2.
Доказательство. Отображение первого действия во второе коммутирует с Т-1*> чт0 и требовалось доказать.
13.6. Пример. Пусть, поворачивая линейку (плоскость) Ньютона вокруг прямой, проходящей через показатели одночленов бинома op—X2ZjTyZit мы остановились на плоскости, проходящей через показатель монома yik+1- К какому виду можно привести возникшую квазиоднородную функцию ср+. . . квазиоднородными диффеоморфизмами? § 13] классификация квазиоднородных функций 179
Вычисляя тип а и степень d, получаем « = (2&-f-l, 2, 4к),
,2 к
У
,2?+!,
,,4?+!
d = 8&-]-2. Мономы носителя: x2z, yz2, х2у'
Носитель аффинно эквивалентен подмножеству носителя кубической однородной формы, образованному показателями мономов XYZ, YZ2, XY2, Y2Z, Y3
Kff**
(рис. 52). Корневое поле y2kd/dz. Его образ в носителе однородных форм: YdldZ.
Рассмотрим в пространстве функций на квазиоднородном носителе плоскость, образованную функциями, равными 1 в точках отвечающих мономам x2z
CC^yZk
,-M-V
Рис. 52.
и yz2. Рассмотрим стационарную подгруппе квазиоднородных диффеомор-
группу этой плоскости в физмов.
Орбиты компоненты единицы этой подгруппы при отображении носителей переходят в орбиты соответствующей группы
линейных преобразований (следствие 3).
Алгебру Ли получающейся линейной группы легко описать: она порождается торической частью, действующей на функции на носителе как умножения на аффинные функции, равные 0 в отмеченных знаком * точках носителя (где фиксировано равное 1 значение функции), и образом корневого вектора.
Итак, мы сводим нашу задачу к классификации многочленов LXY^+BY^+CY* относительно замен Z=Z'+IY' и Х=уХ', Y=y~2Y', Z=fZ'. Эта задача эквивалентна аффинной классификации плоских распадающихся (выделяется Y=0) кубических кривых, имеющих не менее двух конечных (AV=O) двойных точек (F=0, XZ+Z2=0).
В зависимости от того, распадается ли кубика на три прямые или только на прямую и конику, и от того, имеется ли касание с бесконечностью, возможно четыре случая (рис. 53), которым отвечают нормальные формы:
1) XYZ+YZ2 + bY2Z + Y3, b2=^ 4;
