Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
em]emi = om1Ai omjAi1 = om omj (AfiAij -j- Aft (т2) Afj), [Єт„ emJ = omi+m, (Afl (m2) Afj — Afj (W1) Afi).
Если Tn1-^m2 не корень и не 0, то оператор справа может принадлежать а (а), только если он 0. В этом случае [етх, emJ = 0.
Если In1 -]- т2 — корень, то у этого вектора ровно одна отрицательная компонента, и она равна —1. Векторы Im1 и т2 также имеют по одной отрицательной компоненте, равной —1. Поэтому у In1 -j- m2 отрицательна либо та же компонента, что у т17 либо та же, что у т2. Предположим, например, что у Vn1-IrIm2 отрицательна та же компонента, что у Ifn1. Тогда компоненты с номерами I1 и і2 у векторов тг, ш2 и Hi1 -J- Xm2 имеют вид
nil ш2 ^1-I-W2 Vti1 + Xm2
\ —1 О —1 —1
К Р> О -1 i> — 1 О р — Х
Следовательно, W1-J-Xm2 — корень при X ^ /j = Afj (mL), т. е. Afj (m,]) = max {X: Jn1-I-Xm2 — корень}. J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
Итак, в случае (mx -f- т2) =—1 имеем
^mi] A1J (Wi1) "«!,+«ijA»',-NItxl,
где Nm^m1 = —^j2(Wi1); тем самым доказано соотношение (3).
Пусть т и —т — корни. У обоих этих векторов ровно по одной отрицательной координате, равной —1, так что em = xtdj, е~т = Xjdi. Следовательно, веса л. и а} равны. Перестановка координат i, j в G1 является отражением, переводящим систему всех корней в себя, меняя местами т и —т. Далее, [ет, е_и1] = = Iii — hj. Если рассматривать Iirn = Ki — hj как функцию в С", то она меняет знак при отражении, переставляющем і и j, и равна ~\-2 на векторе т. Итак, операторы h, ет удовлетворяют соотношениям (1)—(4).
Рассмотрим теперь натянутое на корни подпространство Cr в координатном пространстве С с обычной эрмитовой метрикой, <(Тс, Vy = ^kiIi. Пространство С и метрика инвариантны относительно всех перестановок координат с равными весами (<х4. = a j). Поэтому ортогональное дополнение Св-Г к С в С" также инвариантно. Представим линейное пространство алгебры а (а) в виде а (а) = = Hr ф Kw ф Н"~г, где Hr состоит из линейных функций h на С", равных нулю на CB_r; FI"~r — из линейных функций h на С", равных нулю на Cr; IC состоит из линейных комбинаций векторов ет.
Из доказанных соотношений коммутаций следует, что FIn^r лежит в центре алгебры а (а) и что Hr © К ' является идеалом, изоморфным алгебре Ь. Следовательно, а(«) = 6ф FI"~r, и лемма доказана.
Теперь мы можем закончить доказательство теоремы Б. Действительно, соотношения (1)—(4) выражают коммутаторы в алгебрах Ъ и а через геометрию корней, без ссылок на координаты (исключая выбор знака + в одном из соотношений (3)). Таким образом, набор корней, как векторов в С-линейном пространстве С, определяет алгебру с точностью до конечного числа возможностей, что и доказывает теорему В.
Замечание. Неизвестно, могут ли при разных выборах знаков в соотношении (3) получаться неизоморфные алгебры.
13.5. Доказательство теоремы А. Продолжим функции на носителе на решетку Z"-1 всех целых точек в плоскости носителя, положив их равными 0 вне носителя. Операторы h{, ет, ат, Jilll, определенные при доказательстве теоремы В на функциях на решетке Zn, действуют и на пространстве функций на решетке "L""1 в плоскости носителя. Получающиеся операторы в пространстве функций на Z"-1 будем обозначать теми же буквами. Таким образом, h. и Iim являются операторами умножения на аффинные в плоскости носителя функции, от есть оператор сдвига на корень т, а ет = OmHi. § 13] классификация квазиоднородных функции 177
Пусть m — корень. Назовем точку к носителя базовой для т, если fc-f-m не принадлежит носителю. Множество всех базовых точек корня т назовем базой корня ш (в данном носителе).
База корня т=р — If образована всеми точками носителя, в которых і-я координата равна 0. Следовательно, вся база лежит в одной аффинной гиперплоскости С"-2 в плоскости носителя.
База каждого корня полного носителя принадлежит ровно одной аффинной гиперплоскости С""2 CZ С"-1. Действительно, каждая точка носителя получается из точки базы вычитанием неотрицательного целого кратного корня ш; поэтому, если бы база содержалась в С"-3, носитель содержался бы в С"2 и не был бы полным. Итак, существует одна и только одна аффинная функция в плоскости носителя, равная 0 на базе корня т и приращение которой вдоль корня т равно —1. Эта функция есть Iii (суженная на плоскость носителя). Следовательно, сужение Af на плоскость носителя однозначно восстанавливается по носителю и корню т.
Действие ет на пространстве функций на носителе можно теперь описать в терминах одной лишь геометрии носителя и корней: em = OmAt., т. е. (ema)(k) = h.(k— m)a(k— т) для любой функции а. Заметим, что оператор ет оставляет инвариантным пространство функций, равных 0 вне носителя, гак как в базовых точках Ai обращается в 0.
Алгебра а (а) действует на пространстве функций на решетке в плоскости носителя, так что возникает представление <р: а (а) где S — алгебра эндоморфизмов этого (бесконечномерного) пространства функций. Рассмотрим образ представления <р. Этот образ определяется геометрией носителя и корней. Точнее, пусть Ct1 = Ct(SC1) и Ci2 = Ct(OC2)—Две квазиоднородные алгебры и .S1CG"-1, S2 С С"-1 — полные носители. Пусть Ф: C1-1 —> С"-1 — аффинное отображение, биективно переводящее S1B S2VL систему корней для Cl1 в систему корней для а2. Тогда индуцированный <Ь изоморфизм 6* пространства функций на С"-1 в пространство функций на Cj-1 изоморфно переводит алгебру Ли <р(а2) в алгебру Ли <р (Ct1).
