Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Все особенности с числом модулей 1 и 2 классифицируются в точности по вырождениям эллиптических кривых, расклассифицированным Кодаирой (см. [60]). В. С. Куликов указал, что для получения этих особенностей из вырождений эллиптической кривой нужно на минимальном разрешении вырожденного слоя раздуть 1, 2 или 3 точки, после чего исходный слой стянуть (см. [60]).
К сожалению, все перечисленные результати получены сравнением независимо доказанных классификационных теорем, ни одну из которых не удалось вывести из другой.
15.1. Особенности с числом модулей т=0, 1 и 2.
0. Простые особенности (т—0). Имеются 2 бесконечные серии A, D и 3 исключительные особенности Ee, E1, E8:
Alc, к Ss 1 Dk, & > 4 E, E7 Е»
xk+1 х-у + ук~г x3+ у1 X3 J- xlI3 X3 -{- у&
1. Унимодальные особенности (т—1). Имеются 3 семейства параболических особенностей, трехиндексная серия гиперболических особенностей и 14 семейств исключительных особенностей. Параболические:
Pb x3 у* Z3 axyz а» jt 27 ф 0
X9 + у1 + ах V а2 =?= 4
Ло хз ув ах2у2 4 a3 jr 27 ф 0
Гиперболические:
Trtqtr: xP + y* + z' + azyz, а^О, -L+l+l< 1. 14 исключительных семейств:
E із Я3 + У7 + аху5 E із X3 Jr Xyi Jr ay8
E ц X3-sTUi jT ахУ" Zn x3y + ^5 + аху1
Z12 xsy Jt Xyi Jr ах2у3 Z із x3y -j- -г axy*
W1. Xі 4" Уъ Т" ах2у3 Wi3 x* + xyl + ay*
Qu X3 jT Vі -Ъ У zZ "Ь ахУ8 Qu X3 -j- y2z -J- Xz3 -)- azb
Qi2 Я3 + Уъ -і- УZi + аху1 Sn Xі -)- y2z -)- Xz2 -)- ax3z
S13 х-у -j- y2z -J- XZ3 -J- a25 U1 г X3 -)- y3 -J- Z1 -J- axyz2
2. Бимодальные особенности Jm=2). Имеются 8 бесконечных
серий и 14 исключительных семейств. Пусть a=a0+aji/. § 15]
списки особенностей
193
4 бесконечные серии бимодальных особенностей коранга 2:
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, V-
J3, о Xа -f- Ьхгу3 -(-Jif9-I- cxV7 Ab3 + 27 фО 16
Із, р X3 + X2Jf3 + Cty3+P р> 0, а0ф 0 іб + р
0 х3у dx2y3 + схуе + у7 Ad3 + 27 фО 15
х3у + хЪу3-\-ау1+Р р > 0, ай ф 0 15+ P
Wi, о х4 + ахгу3 + ув а\ф 4 15
Wi, P я4 + г V+ Ctye-I-P Р>0, айф0 15+ р
Wf^i-I (х* + у3)* + ахуі+я q> 0, а0фО 15 + 2q — 1
Wt4 (х2 + у3)2 + ах%у3+1 Я > 0, а0ф 0 15 + 2q
4 бесконечные серии бимодальных особенностей коранга 3:
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, !>•
Q*. о X3 + i/z2 + аж2!/2 + ху4 аЪфк 14
Q*.P р > 0, а0 ф 0 14 + р
о x2z + yzz + yB + azy3 14
^i, р X2Z + у Zi + X2JT3 + а Sf5+^ р > 0, a0 ф 0 14+ р
2S-1 X2Z + !/г2 + Zy3 + аху3+* д>0, ао^0 14 + 2q — 1
5? 2? X2Z + yz2 + Zy3 + ax"-y2+i ? > 0, а0 ф 0 14 + 2з
Ui, о X3 + XZ2 + Xy3 + ClysZ 14
U1, 2g—1 X3 + XZ2 + ху3 + Uy1^z- q > 0, а0 ф 0 14 + 2(7 — 1
Ui, ч X3 + XZ2 + ху3 + Cly3+Iz q>0, аоф0 14 + 2(7
14 исключительных семейств:
#18 X3+ У10 + OX!/7 #19 X3 + ху7 + ау11
eZO yii аху8 Zi1 Х3у + у8 +Оху*
Zu Я3!/ + irJ/6 + aSf9 Z19 X3V + У9 + аху7
W17 Wl8 х* + У7 + ах2у*
QI6 я3 + yz2 + г/7 + «х//5 017 X3 + ^z2 + хул + ау8
Qis X3 + ^z2 + S/8 + Ctxye Sie X2Z + yz? + Xyi + ау6
SI7 X2Z + JJZ2 + у* + UZyi и и X3 + XZ1 + ув + ахгуг
Все функции перечисленных семейств (при указанных в таблицах ограничениях) бимодальны. 13 В. И. Арнольд и др. J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
15.2. Особенности 'коранга 2 с ненулевой 4-струей. Всюду в этом разделе а = о0 -)- ... -j- ак-%Ук~* (при к = 1 а — О).
1. Особенности коранга 2 с ненулевог 4-струей. Кроме простых особенностей JL1 D, E6, E1, Eis есть еще бесконечная серия классов:
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, И- Модальность, m
^Те, в а8 + Ь® V + узк + схугк+1 к 1 4Ь3 + 27 # 0 6A — 2 A-I
< Xя -f X2 у к -f вы»*+' й>1, {>0, а0Ф 0 6ft — 2 —|— г k — i
^Sfc+! я» y'k+l ClXy2k+1 х* 4- xyik+1 -f- ау*к+г X» -j- г/**+3 4- ахугк+і ft > 1 к > 1 ft > 1 6 к 6ft 4-1 6A + 2 k — i k — i k—i
Здесь с = C0 -j- • • • + ск-зУк~5 ПРИ ^ 2; при к = 2 полагаем с=0.
2. Особенности коранга 2 с нулевой 3-е труей и ненулевой 4-е т р у е й. Имеются 4 бесконечные серии классов X, ЗГ, Z и Hr. Особенности классов XuY:
Обозначение Нормальная форма (fc>l) Ограничения Кратность, Модальность , m
-xJe1 о Xk, p X4- -f- Ъх3ук + axhj2k + хузк X* 4- ах3ук + x2y2k + by4*+? A <»A Ф 9, а\ф 4, Ь0ф 0 Р>0 і < S < г, соф0фЬ„ 12ft — 3 12ft — 3 + р 3ft —2 3ft —2
Yk Г, « [(X + ay*)* + &?/2A+?] X X (г2 4- Уік+Г) 12ft — 3 -1- г -f- s 3 ft —2
В случае k=1 эти формулы нужно несколько видоизменить:
Обозначение Нормальная форйа Ограничения Кратность, V- Модальность, m
Хі.в at4 4- а0ї V + у* аІфЬ 9 1
х*-\- х*у* + а0у*+Р а0фО 9 + р 1
x*+r + а„хгуг + у*+' аоф0 9 + г+* 1 f 15Г
списки" особенностей
195"
Конечно, ZlrO.= X9, Xli р = T2i 4i 4+p, Y1r,f = T2t 4+г> 4+, (см. п. 15.1). Здесь
Д = 4 (a* -f Щ) - afflo - 18?? + 27, Ь = Ь0+ ..... + Ь^*™..
Особенности класса Z.
Особенности о и Zk (А> 1) имеют нормальную форму вида / = (X — CLyk) f2, где а0 =4= 0 и /2 дается следующей таблицей:
Обозначение U Ограничения (ft>l) Кратность, Iх Модальность, m
Zf1O ^12fc+6t-l ^12fc+6< X3 -(- Ctx2Vk+' + -f- сху2*+2*+1 + a;3 + bxy2fc+2,+i X3 + Ьху231+2*+2 I ^3fc+3t'+2 Ad3 + 27=^0, i>0 і > 0 і > 0 і > 0 12ft + 6i — 3 12ft + 6/-1 12ft + 6j 12ft + 6i + 1 3ft + і — 2 ЗА + г — 2 3ft + г — 2 за + г — 2
