Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
J d — J d(%) = GJG>d.
Ясно, что Jd — конечномерная группа Ли. Имеются естественные факторизации д: Jp -> Ji (р q ^ 0).
Следует обратить внимание на то, что в обычном однородном случае наша нумерация отличается от стандартной сдвигом на 1: наше J0 — это группа 1-струй и т. д.
Предложение 3. Группа Jp получается из J0 цепочкой расширений с коммутативными слоями. Точнеег пусть Ap — не- § 12]
КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
159
посредственно следующий за Aq член фильтрации. Тогда ядро К гомоморфизма к коммутативно.
Доказательство. Пусть А, В QK. Рассмотрим ка-ких-либо их представителей a,b?G0. Справедливо тождество
(aob)* — I = (а* — 1) -j- (Ь* — 1) + (0* — 1) (а* — 1). Далее, при любом X
(а*-1)АхсАх+р, (S1-I)I1CV
так как g-струи а и Ъ тривиальны. Следовательно, [(а о Ъ)* — — (Ьоа)*] Ax CL Поэтому aob и boa определяют в Jp один
и тот же элемент, что и требовалось доказать.
Особенное значение имеет группа /„, являющаяся квазиоднородным обобщением полной линейной группы.
Определен и'е. Диффеоморфизм g?G0 называется квазиоднородным типа х, если каждое из пространств квазиоднородных функций степени d (тина а) переходит под действием g в себя.
Множество всех квазиоднородных диффеоморфизмов (фиксированного типа) образует группу. Эту группу мы обозначим через H (=H (а)) и будем называть группой квазиоднородных диффеоморфизмов.
Рассмотрим естественное вложение i: H -> G0 и факторизацию п: G0-* J0.
[^Предложение 4. Группа J0 естественно изоморфна группе квазиоднородных диффеоморфизмов Н; точнее, сквозное отображение ni: H —> J0 является изоморфизмом групп Ли.
Доказательство, a) Ker пі =е. Действительно, Ker ni =H П G>n. Значит, для h Q Ker пі и для любого монома / степени d '(Ji*—1) / принадлежит пространству однородных функций степени d и в то же время имеет порядок, больший d. Следовательно, (h*—1)/=0 для любого монома /, и, значит, h=e.
б) Im ni = J0. Для доказательства построим явно обратное отображение /„-а-Я. Пусть X1, ---,Xn — координаты в С", диффеоморфизм g (й G0 — представитель струи j Q J0. Рассмотрим ряд g*X{ ? Аа;. Выделим в этом ряду однородную компоненту Уі степени OLi, так что g*xi = yi 4-Zj, г. f !>„.. Определим полиномиальное отображение fr1: С" -> С" соотношением JtXi = у ^ Чтобы проверить, что h — диффеоморфизм, вычислим определитель Якоби:
det
д lVi + *t)
dXj
¦ det
Содержащее производные от z слагаемое R равно 0 в начале координат. Действительно, каждое слагаемое определителя у по х имеет степень однородности 0. Все дополнительные слагаемые, содержащие z, имеют положительный порядок, так как Zi Q A>di. 160
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Поэтому и R (0)=0. Итак, якобианы g и h в нуле сов-
падают, поэтому якобиан h в нуле отличен от 0, и, значит, h — диффеоморфизм. Кольцевой автоморфизм h* сохраняет степени всех мономов, так как он сохраняет степени координат Xi. Следовательно, h?H. Очевидно, что nih=j, и предложение доказано.
Предложение 5. Пусть d, ^ 0. Тогда группа d-квази-струй диффеоморфизмов, Jd, действует как группа линейных преобразований на пространстве d-квазиструй функций, AjA>d.
Доказательство. Пусть g ? G>d. Тогда применение g не меняет d-квазиструю любой функции /, так как fog — / ?A>d. Следовательно, отображение (h, /) i-> / о/г задает отображение Jd X (-?/A>d) —A/A>d, что и требовалось доказать.
Замечание. В случае обычной однородности на пространстве &-струй функций действует уже группа (к — 1)-струй диффеоморфизмов (в наших обозначениях). Этот факт имеет аналогом в квазиоднородном случае действие группы (d—тіпа8)-струй.
12.5. Квазиоднородные векторные поля. Инфинитезимальные аналоги введенных понятий выглядят следующим образом.
Определение. Формальное векторное поле v = ^vi djdxt имеет порядок d, если дифференцирование по направлению поля v повышает порядок любой функции не менее чем на d: LvAxClAud. Обозначим множество всех векторных полей порядка d через gd. Введенная фильтрация в модуле векторных полей (т. е. дифференцирований алгебры А) согласована с фильтрацией в алгебре:
aG1i. » G 9s => av Є 9i+s> Lva?Ad+b.
Предложение. Пусть 0. Тогда: 1) скобка Пуассона векторных полей определяет на пространстве Qd структуру алгебры Ли, 2) скобка Пуассона элементов из Qd и gd лежит в gd+d> так что каждое является идеалом в алгебре Ли д0.
Доказательство. Если f?Ax, t>i(:gd, ^269,*' т0 (Lv,Lvi — LviLv,) f G A\+dl+dl, что и требовалось доказать.
Порядок векторного поля связан с порядками его компонент следующим образом.
Предложение. Поле V = ^Pfdjdxi имеет порядок d (типа а) тогда и только тогда, когда каждая его компонента v. является функцией (рядом) порядка d -f- а{.
Доказательству предпошлем следующие определения. Вектор-мономом будем называть векторное поле вида X^djdXi. Степенью вектор-монома (при данном типе квазиоднородности) мы будем называть рациональное (быть может, отрицательное) число <(Jc, я/ — а? = = <(fc— і,., ot)> из той же арифметической прогрессии, которой принадлежат степени обычных мономов. Векторное поле называется (квази)однородным степени d, если все мономы, входящие в него с ненулевыми коэффициентами, имеют степень d, § 12]
