Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вот еще некоторые непосредственные следствия теоремы.
Следствие (см. [9]). Многочлен Пуанкаре полуквази-однородного отображения всегда возвратный:
Следствие (см. [9]). Обобщенная степень предпоследнего (по квазистепени) монома в мономиальном базисе локальной алгебры квазиоднородной функции типа (а, ..., ая) степени 1 равна dmax —
— «mm. где «min = min(CC1, . . ., OC11).
Следствие (см. [9]). Невырожденное квазиоднородное отображение типа X = AjN степени d = DjN может существовать лишь в случае, когда многочлен JX (^s — 1) делится на JJ (tA* — 1).
Следствие (см. [9]). Невырожденная квазиоднородная функция типа X (Oit = AJN) может существовать лишь в случае, когда Xl (tN-A* — 1 )/П (tA° — 1) — многочлен-
Замечание. В случае функций двух и трех переменных сократимость дроби JJ (tN~A*— 1 )/JX(^s— 1) не только необходима для существования невырожденной квазиоднородной функции с показателями A JN, но и достаточна (см. § 13, стр. 171). В случае четырех переменных это уже не так, что видно из следующего примера Б. М. Ивлева:
В этом примере частное — полином с неотрицательными коэффициентами, однако все квазиоднородные функции с показателями AJN вырождены.
Перечисленные выше результаты неоднократно переоткрывались (Милнор, Орлик и Ваграйх, Саито, Хиронака). Эти результаты фактически имеются уже в книге Бурбаки [30] (см. предложение 2 в п. 1 § 5 главы 5, раздел «Ряд Пуанкаре градуированной алгебры»).
Доказательство теоремы. Достаточно рассмотреть случай невырожденного квазиоднородного отображения
Ij-I = ^fc-;' где
N=265, A1=I, A2= 24, A3 =33, A4= 58. § 12| КВАЗЙ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ J 57
F (см. п. 12.2 и предложение 1). Сделаем замену T предложения 2. Из вида образующих локальной алгебры FoT следует, что
Pf.T-, 1,! =1PFtN,At) Рт;1, где !=(1' •¦•> !)•
Входящие в эту формулу многочлены Пуанкаре однородных в обычном смысле отображений T и Fo T легко вычислить явно.
tA — 1
? самом деле, для отображения х — ул имеем p(t)=~-. Отсюда
вытекает, что
s=1il
(здесь и далее пара (N, <х) =(1, 1) в обозначении р не указывается).
С другой стороны, FoT — невырожденное отображение, компоненты которого — однородные функции степеней D3. Следовательно (согласно предложению 1 и п. 12.2), оно имеет такой же многочлен Пуанкаре, как любое другое невырожденное однородное отображение с теми же степенями. В качестве такого отображения можно взять, например, отображение T', заданное формулой
Т'(Уі,..., У.) =
Итак,
PF-Tit) = Pf (0 = П 11 І і •
Формула для рг получается делением формул для pF,T и для рт- Теорема доказана.
12.4. Квазиоднородные диффеоморфизмы и квазиструи. С фильтрацией, определенной типом квазиоднородности а, связано несколько групп и алгебр Ли. В случае обычной однородности это полная линейная группа, группа Л-струй диффеоморфизмов, ее подгруппа k-струй с тождественной к—1-струей и их фактор-группы. Их аналоги в случае квазиоднородной фильтрации определяются следующим образом.
Рассмотрим пространство С" с фиксированной системой координат (X1, . . ., хп). Алгебру формальных степенных рядов *) от координат мы будем обозначать через A =C [[X1, . . ., xj\. Мы предполагаем, что задан тип квазиоднородности а=(ах, . . .,ая). Мы будем обозначать через Ad идеал алгебры А, образованный рядами порядка d и выше. Далее, через A>d обозначается
*) Большая часть дальнейшего непосредственно переносится на случай, когда А — кольцо сходящихся рядов над С или над R или кольцо ростков гладких функций. 169
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
идеал алгебры Ad, образованный рядами порядка, строго большего d.
Формальный диффеоморфизм g: (Ся, 0)-»-(Сл, 0) задается набором п степенных рядов без свободных членов и задает изоморфизм алгебр g*: А -> А по формуле gf = fog, где о означает подстановку ряда в ряд.
Определение. Диффеоморфизм g имеет порядок d, если для любого X
Of-IMxC2ЛШ.
Предложение 1. Пусть d^0. Тогда множество всех диффеоморфизмов порядка d с операцией о образует группу Gd = Gd(X).
Доказательство. Заметим прежде всего, что при d^O g*Ax =z Ax для всех X (g*Ax с Av так как d ^ 0, a CL Ax,
так как фактор-пространство AjAx конечномерно). Поэтому для а, Ъ из Gd имеем
Kaobf - 1 ] Ax = [b*(а* - 1) + (Ъ* - 1)] Ax с Ax+d, (аг* -і) Ax = - a*) Ax С Ax+d,
что и требовалось доказать.
Предложение 2. Группа G1 является нормальным делителем группы Gp, если р^0.
Доказательство. Определение Gj использует лишь фильтрацию Эта фильтрация инвариантна относительно группы G0 и тем более относительно меньшей группы Gp. Следовательно, и подгруппа, определенная в терминах этой фильтрации, инвариантна, что и требовалось доказать. <
Группа G0 особенно важна, так как она играет в квазиоднородном случае роль, которая в однородном случае принадлежит полной группе струй диффеоморфизмов. Следует подчеркнуть, что в квазиоднородном случае некоторые диффеоморфизмы имеют отрицательные порядки и не входят в G0.
Определение. Группой d-(Kea3u)cmpyu типа «^называется фактор-группа группы диффеоморфизмов по подгруппе диффеоморфизмов порядка, большего d:
