Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
где m — максимальный идеал R-алгебры Q (f). Назовем росток f F-простым, если малые деформации ростка / содержат только конечное число типов F-эквивалентности.
Теорема. 1. Для С^-устойчшых ростков /: R" -J-Rp (п р) топологическими инвариантами являются: а) тип E' Тома—Боардмана-, б) если то тип H*--7 Тома—Боардмана.
2. Для Cco-устойчивых У-простых ростков /: R" -у Rp (п ^ р) топологическим инвариантом является функция Гильберта — Самюэля TR-алгебры Q (J).
Дж. Дамон утверждает, что в некоторых случаях топологическим инвариантом является комплексный тип R-алгебры Q (/).
5°. Другие вопросы. К топологической теории особенностей относятся также глобальные вопросы, например, связи теории особенностей с характеристическими классами, изучение которых было начато еще в классических работах Уитни и Пон-трягина. Мыце'останавливаемся на этих очень интересных вопросах, где еще много предстоит сделать (в особенности для лагран-жевых и лежандровых отображений), так как эта книга посвящена локальной ^"теории особенностей. 1
Следующий частный результат является, так сказать, полулокальным. Рассмотрим~семейство гладких функций / на замкнутом многообразии, зависящих от га-мерного параметра у, и образуем функцию максимума F (у) =max / (х, у). Для общих семейств
x
с не более чем шестимерным параметром функция F, как доказала JI. Н. Брызгалова (см. [28], [29]), топологически эквивалентна морсовской функции. В. И. Матов доказал это при всех га.
В. И. Матов доказал также топологическую'морсовость^функ-ции min max f(x, у, z) для f общего положения. ГЛАВА Ii
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
Функции общего положения имеют лишь невырожденные критические точки. Однако при исследовании семейств функций появляются (неустранимым малыми шевелениями образом) и простейшие вырождения. Например, семейство / (х, t) =з?—tx имеет при нулевом значении параметра t вырожденную критическую точку, и всякое близкое семейство имеет при близком значении параметра такое же вырождение. При большем числе параметров появляются более сложные вырождения.
Задача классификации всех этих вырождений на первый взгляд кажется безнадежной. Однако, когда был вычислен начальный отрезок этой классификации, то выяснилось, что он устроен достаточно просто: классификация простейших вырождений оказалась связанной с классификацией простых групп Ли, с теорией групп, порожденных отражениями, с теорией кос и с классификацией правильных многогранников в обычном трехмерном пространстве.
В этой главе описан начальный отрезок классификации критических точек функций, включая классификации простых (или О-модальных), унимодальных и бимодальных особенностей, а также классификацию всех особенностей кратности р. 16.
Число V классов (стабильной ^.-эквивалентности, определенной ниже) комплексных особенностей кратности р. дается при р. 16 следующей таблицей:
1 2I 3 4 5 6 7 8 9 I 10 11 12 13 14 15 16
V 1 і 1 2 2 3 3 4 4 J 7 11 15 14 17 22 32
Множество нерасклассифицированных особенностей имеет коразмерность 11, так что расклассифицированы все критические точки, встречающиеся в общих семействах функций, зависящих не более чем от 10 параметров.
Классификация простейших особенностей дискретна, но сильно вырожденные особенности имеют модули.
Модальностью т точки х?Х при действии группы Ли G на многообразии X называется наименьшее число такое, что достаточно малая окрестность точки х покрыта конечным числом та-параметрических семейств орбит. Точка х называется простой, если ее модальность равна 0, т. е. если ее окрестность пересекается с конечным числом орбит. 144
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Модальность ростка функции в критической точке с критическим значением 0 определяется как модальность достаточной струи в пространстве струй функций с критической точкой О и критическим значением 0.
Два ростка называются стабильно эквивалентными, если они становятся Д-эквивалентными *) после сложения с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа переменных.
Теорема 1 (см. [51, [61). Простые ростки голоморфных функций {ростки с т= 0) исчерпываются, с точностью до стабильной эквивалентности, следующим списком'.
Ak: f(x)=xk+\ fc> 1;
Dk: f(*. У) = ^y jTUj"1, E6: f(x, у) = г8 +у1;
E,-. f(x, у) = X3+ хуа;
Е&: 1(х, y) = o?-t-if.
Связь этих особенностей с обозначаемыми теми же символами простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отражениями, обсуждается в [7]. Эти особенности можно также получать из правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве, точнее — из дискретных подгрупп группы SU (2): они описывают соотношения между базисными инвариантами группы. Ak соответствуют многоугольникам, Dk — диэдрам (двусторонним многоугольникам), Ea — тетраэдру, E1 — октаэдру, Ea — икосаэдру. Подробнее см. [13].
Теорема 2 (см. [8]). Унимодальные ростки (ростки с т =1) исчерпываются, с точностью до стабильной эквивалентности, трехиндексной серией однопараметрических семейств:
